Differentialgleichungen
WS 2015/2016
6. Übungsblatt
27. Untersuchen Sie folgende Systeme auf Stabilität der Ruhelage (x, y) = (0, 0):
a) ẋ = e−(x−y) − cos x, ẏ = sin(x − 3y).
b) ẋ = x + y + x sin y, ẏ = −2x + y + 1 − cos xy.
c) ẋ = y − x3 sin2 y, ẏ = −x − x2 y sin2 y.
d) ẋ = y, ẏ = −x − µy(1 − x2 ), µ > 0.
28. Bestimmen Sie sämtliche Gleichgewichtspunkte der Systeme und ihren Stabilitätscharakter.
a) ẋ = 1 − y, ẏ = x2 − y 2 .
b) ẋ = x − x2 − xy, ẏ = 3y − xy − 2y 2 .
29. Informieren Sie sich darüber, was ein „autonomes System“ (im Zusammenhang mit
Differentialgleichungen) ist.
Untersuchen Sie den Punkt (0, 0) des autonomen Systems
ẋ = −x3 + y,
ẏ = −x − y 5 ,
d.h zeigen Sie: (0, 0) ist ein Gleichgewichtspunkt. Von welcher Art?
Zur Untersuchung der Art machen Sie den Ansatz V (x, y) = Ax2 + By 2 für eine
Ljapunov-Funktion (und wählen A und B geeignet).

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