Prof. Dr. R. Wulkenhaar SS 16 PD Dr. T. Timmermann ¨Ubungen zu

Prof. Dr. R. Wulkenhaar
PD Dr. T. Timmermann
SS 16
Übungen zu Mathematik für Physiker II
Abgabe: bis Mittwoch, den 04.05.16, 18 Uhr in den Briefkästen
Blatt 3
√
dx
√ mit Hilfe der Substitution t = x.
(a) Berechnen Sie
x− x
Z
dx
mit Hilfe der Substitution t = tan x2 (vgl. Beispiel 31.13
(b) Berechnen Sie
1 + sin x
der Vorlesung).
Z
Aufgabe 1.
Aufgabe 2. Zeigen Sie:
Z π
2
sin x
(a)
dx
= ln 2;
1 + cos x
0
Z 2
√
5
x
=
(b)
dx √
(Substitution t = 1 + 4x);
6
1 + 4x
0
Z 2√3
dx
1
1
1
√
√ −√
(c)
(Substitution x = 2 tan z).
=
2
x2 4 + x2
2
3
2
Rx
Aufgabe 3. Für n ∈ N und |x| < π/2 sei Dn (x) = 0 dt tann t. Zeigen Sie:
(a) D0 (x) = x, D1 (x) = − ln cos x und nDn+1 (x) = tann x − nDn−1 (x) für n ≥ 2.
(Hinweis: Differenzieren Sie für die letzte Gleichung tann x.)
(b) Für dn := Dn (π/4) gilt lim dn = 0.
n→∞
(c) Für alle m ∈ N ist
m−1
d2m = (−1)m
π X (−1)k
−
4 k=0 2k + 1
!
d2m+1 = (−1)m
,
ln
√
2+
m
X
(−1)k
k=1
2k
!
.
(d) Folgern Sie aus (b) und (c) die Gleichungen
∞
X
(−1)k−1
∞
X
π
(−1)k
= ,
2k + 1
4
k=0
k=1
k
= ln 2.
Aufgabe 4. Untersuchen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale auf Konvergenz in
Abhängigkeit von α ∈ R:
Z ∞
Z 1
Z ∞
α
sin x1
−3 α
(b)
dx ln 1 + x
,
(c)
dx ln 1 + x−3
.
(a)
dx α ,
x
1
0
1
sin t
ln(1 + t)
für (a) und lim
t→0 t
t→0
tβ
(Hinweis: Substituieren Sie geeignet und betrachten Sie lim
für geeignetes β für (b) und (c).)
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