HM I (WS 2016/17) — Blatt 12

Prof. Dr. Jürgen Pöschel
M.Sc. Jan Köllner
Dr. Anda Degeratu
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Seite 1 von 2
Woche: 23. Januar - 29. Januar 2017
HM I (WS 2016/17) — Blatt 12
Die Mathematik ist dem Liebestrieb nicht abträglich.
(Paul Julius Möbius; 1853-1907; Neurologe und Psychiater)
Aufgaben zur Abgabe in der Übung
12.1. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
(a)
ln x
x→∞ x2
(b) lim
ex − e−x − 2x
x→0
x − sin x
(e) lim (1 − x) tan (πx/2)
lim
x→π
(d) lim
sin (3x)
tan (5x)
(c)
tan x − 1
x→π/4 sin (4x)
lim
(f ) lim xx
x→1
x→0
(Hinweis: Regel von Bernoulli-de L’Hôpital.)
Votieraufgaben
12.2. Zeigen Sie, dass
(a) 1 −
1
< ln x < x − 1
x
(b) sin x < x
für alle x > 0 (mit x 6= 1) gilt.
12.3. Der Flächeninhalt des Parallelogramms
D
a
C
c2
hc
b
b
c
c1
ha
β
A
α
a
B
lässt sich auf zwei verschiedene Arten berechnen, es ist
A = a · ha = c · hc .
Drücken Sie ha mit Hilfe von b und α + β, sowie c1 , c2 und hc mit Hilfe von a, b, α und β aus
um
sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)
zu zeigen. (Hinweis: Nutzen Sie, dass sin (π − ϕ) = sin (ϕ))
c [email protected] [email protected]
[email protected]
Prof. Dr. Jürgen Pöschel
M.Sc. Jan Köllner
Dr. Anda Degeratu
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Seite 2 von 2
Woche: 23. Januar - 29. Januar 2017
12.4. Gegeben ist der Kreis mit Mittelpunkt (1, 0) Radius r = 1. Die Punkte A (auf dem Kreis mit
yA > 0) und B (auf der y-Achse mit yB > 0) seien so gewählt, dass die Länge des Kreisbogens
d und die Länge der Strecke OB jeweils gleich s sind (vgl. Skizze). Die Gerade AB schneidet
OA
die x-Achse im Punkt C. Wohin bewegt sich der Punkt C, wenn man s gegen 0 gehen lässt?
y
B
A
s
s
x
0
C
Zusatzaufgaben
12.5. Beweisen Sie geometrisch:
ϕ
0
√
sin ϕ
cos ϕ
tan ϕ
0
2
√
4
2
0
π
6
√
1
2
√
3
2
π
4
√
2
2
√
2
2
1
√
3
1
π
3
√
3
2
√
1
2
√
3
π
2
√
4
2
√
0
2
“∞”
Hierfür können Sie z.B. die folgenden beiden Figuren nutzen:
Lernen Sie diese Tabelle auch auswendig!
http://www.foxtrot.com/2015/06/07/gettin-triggy-wit-it/
c [email protected] [email protected]
[email protected]

Download Report