x - Mathematisches Institut

Vorlesung Mathematik für Physiker
Analysis 1
Sommersemester 2016
Hans-Peter Gittel
Universität Leipzig
Mathematisches Institut
Übungsaufgaben (5. Serie)
Abgabetermin: 11.05.2016
17. Berechne durch Anwendung der Regel von de l’Hospital die Grenzwerte:
a)
c)
ln |x|
,
x→−∞
x
)x
(
1
,
lim 1 −
x→∞
x
lim
b)
d)
lim
x→0
sin(x2 )
,
x(1 − 3x )
lim xsin x .
x→0+
(Hinweis: Ausdrücke bei c) und d) in Exponentialdarstellung bringen und Stetigkeit der
e-Funktion ausnutzen)
18. a) Bestimme das Taylorpolynom dritten Grades an der Entwicklungsstelle x0 = 1
√
sowie das zugehörige Restglied für die Funktion f (x) = 1 + ex .
b) Wie lautet die Taylorentwicklung an der Stelle x0 = 0 der Funktion
x4
f (x) = √
. Für welche x ∈ R konvergiert die Taylorreihe?
2−x
19. a) Die tan- bzw. cot-Funktion sind definiert durch
tan x :=
sin x
cos x
bzw.
cot x :=
cos x
.
sin x
Für welche x ∈ R ist die jeweilige Funktion erklärt. Bestimme deren 1. und 2. Ableitung.
b) Untersuche die Funktionen y = tan x und y = cot x auf Monotonie. In welchen Intervallen existieren die jeweiligen Umkehrfunktionen? Diese bezeichnet man mit
x = arctan y
(
)
für x ∈ − π2 , π2
bzw.
x = arccot y
für x ∈ (0, π) .
Bestimme deren Definitionsbereich und stelle diese Funktionen grafisch dar.
c) Leite Formeln für die 1. Ableitungen von x = arctan y und x = arccot y her.
d) Untersuche die Funktionen y = tan x und y = cot x auf Konvexität bzw. Konkavität.
20. a) Beweise durch Diﬀerentiation und Einsetzen spezieller x-Werte die Identität
π

für x > 0
1
arctan + arctan x = 2 π
−
x
für x < 0 .
2
b) Zeige mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Diﬀerentialrechnung
b
b−a
b−a
< ln <
b
a
a
für alle
0<a<b.

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