Übungsaufgaben Lösen von Gleichungen mit

Übungsaufgaben Lösen von Gleichungen mit Substitution
68
Nr
Aufgabe
1
Lösen Sie die Gleichung
- 2·x 4 + 34·x² – 32 = 0
2
Lösen Sie die Gleichung
- 3·x 4 – 60·x² + 1728 = 0
3
Lösen Sie die Gleichung
- 6·x 4 – 30·x² - 24 = 0
4
Lösen Sie die Gleichung
- 2·x 4 + 80·x² – 288 = 0
5
Lösen Sie die Gleichung
5·x 4 + 130·x² + 125 = 0
Lösung
- 2·x 4 + 34·x² – 32 = 0
⇔ - 2·z² + 34·z – 32 = 0,
Substitution mit x² = z
⇔ z² – 17·z + 16 = 0
⇔ z² – 17·z + 72,25 = 56,25
⇔ ( z – 8,5 )² = 56,25
⇔ z – 8,5 = 7,5 ∨ z – 8,5 = -7,5
⇔ z = 16 ∨ z = 1
⇔ x² = 16 ∨ x² = 1
(Rücksubstitution)
⇔ x = 4 ∨ x = -4 ∨ x = 1 ∨ x = -1
- 3·x 4 – 60·x² + 1728 = 0
⇔ - 3·z² – 60·z + 1728 = 0,
Substitution mit x² = z
⇔ z² + 20·z - 576 = 0
⇔ z² + 20·z + 100 = 676
⇔ ( z + 10 )² = 676
⇔ z + 10 = 26 ∨ z + 10 = -26
⇔ z = 16 ∨ z = -36
⇔ x² = 16 ∨ x² = -36 (unlösbar)
(Rücksubstitution)
⇔ x = 4 ∨ x = -4
- 6·x 4 – 30·x² - 24 = 0
⇔ - 6·z² – 30·z – 24 = 0,
Substitution mit x² = z
⇔ z² + 5·z + 4 = 0
⇔ z² + 5·z + 6,25 = 2,25
⇔ ( z + 2,5 )² = 2,25
⇔ z + 2,5 = 1,5 ∨ z + 2,5 = -1,5
⇔ z = -1 ∨ z = -4
⇔ x² = -1 ∨ x² = -4
(Rücksubstitution)
unlösbar
- 2·x 4 + 80·x² – 288 = 0
⇔ - 2·z² + 80·z – 288 = 0,
Substitution mit x² = z
⇔ z² – 40·z + 144 = 0
⇔ z² – 40·z + 400 = 256
⇔ ( z – 20 )² = 256
⇔ z – 20 = 16 ∨ z - 20 = -16
⇔ z = 36 ∨ z = 4
⇔ x² = 36 ∨ x² = 4
(Rücksubstitution)
⇔ x = 6 ∨ x = -6 ∨ x = 2 ∨ x = -2
5·x 4 + 130·x² + 125 = 0
⇔ 5·z² + 130·z + 125 = 0,
Substitution mit x² = z
⇔ z² + 26·z + 25 = 0
⇔ z² + 26·z + 169 = 144
⇔ ( z + 13 )² = 144
⇔ z + 13 = 12 ∨ z + 13 = -12
⇔ z = -1 ∨ z = -25
⇔ x² = -1 ∨ x² = -25
(Rücksubstitution)
F. Mergenthal – www.mathebaustelle.de.de ab_substitution.doc 03.12.101-2
6
Lösen Sie die Gleichung
- x 4 + 17·x² – 16 = 0
7
Lösen Sie die Gleichung
2·x 4 - 64·x² – 288 = 0
8
Lösen Sie die Gleichung
x 4 – 13·x² + 36 = 0
9
Lösen Sie die Gleichung
- 2·x 4 – 90·x² – 648 = 0
10
Lösen Sie die Gleichung
5·x 4 – 40·x² – 45 = 0
ab_substitution.doc 03.12.102-2
unlösbar
- x 4 + 17·x² – 16 = 0
⇔ - z² + 17·z – 16 = 0 ,
Substitution mit x² = z
⇔ z² – 17·z + 16 = 0
⇔ z² – 17·z + 72,25 = 56,25
⇔ ( z – 8,5 )² = 56,25
⇔ z – 8,5 = 7,5 ∨ z – 8,5 = -7,5
⇔ z = 16 ∨ z = 1
⇔ x² = 16 ∨ x² = 1
(Rücksubstitution)
<=> x = 4 ∨ x = -4 oder x = 1 ∨ x
= -1
2·x 4 – 64·x² – 288 = 0
⇔ 2·z² – 64·z – 288 = 0,
Substitution mit x² = z
⇔ z² – 32·z - 144 = 0
⇔ z² – 32·z + 256 = 400
⇔ ( z – 16 )² = 400
⇔ z – 16 = 20 ∨ z – 16 = -20
⇔ z = 36 ∨ z = -4
⇔ x² = 36 ∨ x² = -4 (unlösbar)
(Rücksubstitution)
⇔ x = 6 ∨ x = -6
x 4 – 13·x² + 36 = 0
⇔ z² – 13·z + 36 = 0
⇔ z² – 13·z + 42,25 = 6,25
⇔ ( z – 6,5 )² = 6,25
⇔ z – 6,5 = 2,5 ∨ z – 6,5 = -2,5
⇔z=9∨z=4
⇔ x² = 9 ∨ x² = 4
(Rücksubstitution)
⇔ x = 3 ∨ x = -3 ∨ x = 2 ∨ x = -2
- 2·x 4 - 90·x² - 648 = 0
⇔ - 2·z² - 90·z - 648 = 0,
Substitution mit x² = z
⇔ z² + 45·z + 324 = 0
⇔ z² + 45·z + 506,25 = 182,25
⇔ ( z + 22,5 )² = 182,25
⇔ z + 22,5 = 13,5 ∨ z + 22,5 =
-13,5
⇔ z = -9 ∨ z = -36
⇔ x² = -9 ∨ x² = -36
(Rücksubstitution)
unlösbar
5·x 4 - 40·x² - 45 = 0
⇔ 5·z² - 40·z – 45 = 0,
Substitution mit x² = z
⇔ z² – 8·z – 9 = 0
⇔ z² – 8·z + 16 = 25
⇔ ( z – 4 )² = 25
⇔ z – 4 = 5 ∨ z – 4 = -5
⇔ z = 9 ∨ z = -1
⇔ x² = 9 ∨ x² = -1 (unlösbar) )
(Rücksubstitution)
⇔ x = 3 ∨ x = -3

Download Report