Integration durch Substitution Diese Integrationsmethode beruht auf

Integration durch Substitution
Diese Integrationsmethode beruht auf der Kettenregel der Differentialrechnung. Zunächst
einige Beispiele . . .
3,1
Beispiel ∫ (5 x + 2) dx =?
Wir führen eine neue Variable z ein für den linearen Klammerausdruck. Um die Substitution vollständig durchzuführen, muss auch das Differential dx durch die neue Variable
ausgedrückt werden, also durch dz. Den Zusammenhang zwischen dx und dz findet man,
indem man die Substitutionsgleichung z = 5 x + 2 nach x differenziert:
dz
=5
dx
Das Integral lässt sich dann wie folgt berechnen.
z = 5x + 2
3,1
∫ (5 x + 2)
dx = 15 dz
z′ =
4,1
1
dx = ∫ z 3,1 ⋅ 51 dz = 15 ∫ z 3,1 dz = 51 ⋅ ( 4,1
⋅ z 4,1 + C) = z20,5 + D mit D = 15 ⋅ D
Am Schluss müssen wir noch zurück-substituieren:
4,1
3,1
∫ (5 x + 2)
z 4,1
(5 x + 2)
dx =
+D =
20, 5
20, 5
+D
3
Beispiel ∫2 t ⋅ sin (t2 ) dt =?
Hier könnte man zunächst das unbestimmte Integral berechnen:
2
∫ t ⋅ sin (t ) dt = F (t) + C
um dann in einem zweiten Schritt das bestimmte Integral auszuwerten:
3
2
∫2 t ⋅ sin (t ) dt = F (3) − F (2) = . . .
Etwas kompakter wird die Rechnung aber, wenn man bei der Substitutionsmethode die
Grenzen mitsubstituiert. Man spart dann nämlich die Rücksubstitution.
Hier zunächst die Substitutionsgleichungen:
dz
= 2t
dx
Und hier die alten und neuen Integralgrenzen:
z = t2
dx =
z′ =
dz
2t
t = 3 ⇔ z = 32 = 9
t = 2 ⇔ z = 22 = 4
Damit bekommen wir
3
∫2
t ⋅ sin (t2 ) dt = ∫
9
t ⋅ sin (z)
4
dz 1 9
z=9
= ⋅ sin (z) dz = 12 ⋅ [− cos (z)]z=4 ≐ 0, 1287
2t 2 ∫4
√
Beispiel ∫ x2 5 x3 + 1 dx =?
Wir versuchen den Ausdruck unter der Wurzel „wegzusubstituieren“:
z = 5 x3 + 1
2
∫ x
√
√ dz
5 x3 + 1 dx = ∫ x2 z
=
15 x2
z′ =
1
15
dz
= 15 x2
dx
1
⋅ z /2 dz =
∫
dx =
1
15
dz
15 x2
⋅ ( 23 z 3/2 + C) = . . .
⋅⋅⋅ =
2
45
⋅ (5 x3 + 1)
3/2
+ D mit D =
1
15 C
Das Muster1 hinter diesen Beispielen
′
′
∫ g (f (x)) ⋅ f (x) dx = G (f (x)) + C wobei G (z) = g (z)
2
2
2
2
Beispiel ∫ x ⋅ ex dx = 12 ∫ ex ⋅ 2x dx = 21 (ex + C) = 12 ex + D
Hier ist G (z) = ez und f (x) = x2 .
Die Substitutionsgleichungen wären übrigens: z = x2 und z ′ =
d
dx z
= 2x, d.h. dx =
dz
2x .
Zwei häufige Spezialfälle
f ′ (x)
∫ f (x) dx = ln ∣f (x)∣ + C
2
1
′
∫ f (x) ⋅ f (x) dx = 2 ⋅ (f (x)) + C
4 x3 + 2
Beispiel ∫ 4
dx = ln ∣x4 + 2 x − 1∣ + C
x + 2x − 1
x2
3x2
Beispiel ∫ 3
dx = 13 ∫ 3
dx = 13 ln ∣x3 + 1∣ + C
x +1
x +1
ln x
2
dx = ∫ ln x ⋅ x1 dx = 12 (ln (x)) + C
x
Beispiel ∫
√
Beispiel ∫ cos ( x) dx =?
In diesem Beispiel wird die Substitutionsmethode mit partieller Integration kombiniert.
Die Substitution
√
dz
1
1
z= x
z′ =
= √ =
dx = 2z dz
dx 2 x 2 z
führt auf das Integral
√
∫ cos ( x) dx = ∫ cos (z) ⋅ 2z dz
das wir durch partielle Integration lösen:
dz = sin (z) ⋅ 2z − ∫ sin (z) ⋅ 2 dz = 2 ⋅ (z ⋅ sin (z) + cos (z)) + C
∫ cos (z) ⋅ 2z
↓
↑
Durch Rücksubstitution erhalten wir das Resultat
√
√
√
√
∫ cos ( x) dx = 2 ⋅ ( x ⋅ sin ( x) + cos ( x)) + C
1
Hier sieht man übrigens gut den Zusammenhang mit der Kettenregel, wenn man die „Probe“ macht:
′
[G (f (x))] = G′ (f (x)) ⋅ f ′ (x) = g (f (x)) ⋅ f ′ (x)

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