ueb120-1-10 - TU Dresden

Fachrichtung Mathematik • Institut für Algebra • Prof. Dr. Ulrike Baumann
Mathematische Methoden für Informatiker INF-120
Sommersemester 2016
10. Übungsblatt für die Woche 20.06. - 26.06.2016
Integration & Funktionen mehrerer Veränderlicher
Begriffe: Integrationsmethoden, Funktionen mehrerer Veränderlicher, Definitionsbereich, Stetigkeit
Ü55 (a) Berechnen Sie folgende unbestimmte Integrale mit der Methode der Partialbruchzerlegung:
Z 3
Z
x − 2x2 − 2x − 27
4 − x2
(i)
dx,
(ii)
dx.
x2 − 2x − 3
x3 + 2x2 + x
(b) Geben Sie für das Integral
Z
4x
dx
(x − 3)2 (x + 5)(x2 + 4)2
den Ansatz für die Partialbruchzerlegung an.
Ü56 (a) Bestimmen und skizzieren Sie den Definitionsbereich D(f ) ⊂ R2 folgender reellwertiger
Funktionen:
(ii) f (x, y) = ln 41 x2 + y 2 − 9 .
(i) f (x, y) = √ 22 2 ,
x −4y
(b) Stellen Sie folgende Flächen z = f (x, y) in Polarkoordinaten (x(r, ϕ), y(r, ϕ), z(r, ϕ))T dar:
√
sin( x2 +y 2 )
(i) f (x, y) = 4 − x2 − y 2 ,
(ii) f (x, y) = √ 2x 2 ,
(iii) f (x, y) = √ 2 2 .
x +y
x +y
Nutzen Sie diese Darstellung in (iii), um den Grenzwert
lim
f (x, y) zu berechnen.
(x,y)→(0,0)
sin(xy)
im Punkt P (0; 0), wenn sich
x2 + y 2
Ü57 (a) Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion f (x, y) =
(x, y) dem Punkt P (0; 0)
1. längs der Geraden y = x,
2. längs der Geraden y = 2x,
nähert. Was läßt sich daraus für den Grenzwert
lim
3. längs der x-Achse
f (x, y) schließen? Ist f in P (0; 0)
(x,y)→(0,0)
stetig fortsetzbar? Begründen Sie!
(b) Berechnen Sie für die Funktion f : R2 → R mit f (x, y) =
lim f (x, sin(x))
x→0
Was läßt sich daraus für den Grenzwert
und
lim
y
x+y sin(x)
die Grenzwerte
lim f (x, 2x) .
x→0
f (x, y) schließen?
(x,y)→(0,0)
H58 (a) Berechnen Sie folgende Integrale mit der Methode der Partialbruchzerlegung:
Z 4
Z 4
x − 5x2 + 11
x + 3x3 − 4x2 − 11x + 23
(i)
dx
,
(ii)
dx .
x2 − 2x − 15
x3 + 4x2 − 3x − 18
(b) Ermitteln Sie für die folgende Funktionen deren Stammfunktion, indem Sie zuerst die vorgegebene Substitution verwenden und anschließend die Methode der Partialbruchzerlegung:
√
√
x+1
(i) f (x) =
,
Substitution: u(x) = x + 1,
x
1
(ii) f (x) =
,
Substitution: u(x) = tan x.
1 + tan x
H59 Untersuchen Sie, ob die Funktion

2

 p xy
, für (x, y) 6= (0, 0)
x2 + y 2
z = f (x, y) =


0,
für (x, y) = (0, 0)
im Punkt (0, 0) stetig ist. Es bietet sich an, dazu Polarkoordinaten zu verwenden.
H60 Bestimmen Sie den Definitionsbereich D(f ) ⊂ R2 folgender reellwertiger Funktionen. Für welche
der Funktionen ist ihr Bildbereich beschränkt?
(a) f (x, y) = esin(x+y) ,
(b) f (x, y) =
x3 − y 3
x2 + y 2
(c) f (x, y) =
√
y−x+
√
y + 1.

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