Stetige Abhängigkeit der Lösung von Anfangsdaten
f ∈ C(G)
und lipschitzstetig im 2. Argument mit Lipschitzkonstante
L.
D.g.:
ky(t) − z(t)k ≤ ky(t0) − z(t0)keL|t−t0|
stetige Abhaengigkeit von Anfangsdaten−schlechte Lipschitzkonstante
1
0.5
0
1+t2
y
2
t
y = 10 y −
1 + t2
t2
0
2t
+
,
(1 + t2)2
y(0) = y0
−0.5
links: die Fälle
t2
−10−4e10t + 1+t2
−1
0
0.5
1
t
1.5
y0 = 0
und
y0 = −10−4
2
1
Maximale Denitionsgebiete
f ∈ C(G) =⇒
jede Lösung läÿt sich nach links und rechts bis zu
∂G
fortsetzen
Insbesondere für die Fortsetzbarkeit nach rechts (d.h. die Lösung existiert auf
dem Intervall
(t0, t+))
können nur die folgenden 3 Fälle auftreten:
1.
t+ = ∞ (→
2.
∃t+ > t0
s.d.
lim supt→t+ ky(t)k = ∞
3.
∃t+ > t0
s.d.
lim inf t→t+ dist((t, y(t)), ∂G) = 0
die Lösung existiert für alle Zeiten)
(blow-up )
(Kollaps)
Fortsetzbarkeit nach links: analog
2
Beispiele für maximale Denitionsgebiete
1. blow-up:
y 0 = y 2,
y(0) = 1
D.g.:
y(t) =
1
1−t , was oensichtlich bei
t=1
explodiert.
2. Kollaps:
y
1
,
= −2 + sin
y(t)
0
y(0) = 1.
(G
= R × R \ {0})
Loesung von dy/dt = sin(1/y) − 2 mit y(0) = 1
Loesung von dy/dt = sin(1/y) − 2 mit y(0) = 1
1.2
0.03
1
0.025
0.8
0.02
y(t)
y(t)
0.6
0.015
0.4
0.01
0.2
0.005
0
−0.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
t
0.5
0.6
0.7
0.8
0
0.75
0.755
0.76
t
0.765
3
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