2. Aufgabenblatt

Lineare Algebra
Wintersemester 2015/16
Stefan Fredenhagen
2. Aufgabenblatt
Die Lösungen zu den Aufgaben sind am 02.11. vor der Vorlesung abzugeben.
2.1
Gruppe (4 Punkte)
Wir betrachten die Menge C = Abb(R, R), also die Menge der reellwertigen Funktionen auf R. Wir führen auf C eine Verknüpfung ein durch
+: C×C →
C
(f, g) 7→ f + g ,
wobei (f + g)(x) := f (x) + g(x), d.h. wir definieren die Summe zweier Funktionen
punktweise als Summe der Funktionswerte.
Zeigen Sie, dass (C, +) eine abelsche Gruppe ist.
2.2
Körper (2 Punkte)
Sei (K, +, · ) ein Körper. Zeigen Sie:
Für alle a, b ∈ K gilt (−a) · b = −(a · b) .
Verwenden Sie hierbei nur die Körperaxiome sowie in der Vorlesung schon bewiesene
Eigenschaften.
2.3
Vier Dimensionen (2 Punkte)
In drei Dimensionen kann man den Raum durch eine Ebene in zwei Teile zerschneiden. In vier Dimensionen geht das nicht mehr: Sei
E = {(x1 , x2 , 0, 0) | x1 , x2 ∈ R}
eine Ebene im R4 . Zeigen Sie, dass zwei beliebige Punkte im R4 , die nicht in E
liegen, stets durch einen Streckenzug von maximal zwei Strecken verbunden werden
können, die E nicht berühren.
2.4
Schwerpunkt (4 Punkte)
Seien v1 , v2 , v3 ∈ R2 die Ecken eines (nichtentarteten) Dreiecks. Die Mittelpunkte
der Kanten sind dann
1
1
1
w1 = (v2 + v3 ) , w2 = (v1 + v3 ) , w3 = (v1 + v2 ) .
2
2
2
Zeigen Sie, dass die 3 Geraden, die die Ecken mit den Mittelpunkten der Kanten
verbinden,
Gvi ,wi −vi = {vi + λ · (wi − vi ), λ ∈ R} , 1 ≤ i ≤ 3,
sich in einem Punkt treffen, und bestimmen Sie diesen ausgedrückt durch die vi .
Lineare Algebra
2.5
Wintersemester 2015/16
Stefan Fredenhagen
Nullteilerfreie Ringe* (ohne Wertung)
Ein Ring (R, +, · ) heißt nullteilerfrei, wenn für alle r, s ∈ R gilt
r · s = 0 ⇒ r = 0 oder s = 0 ,
wobei 0 das neutrale Element bezüglich + bezeichnet.
• Sei (R, +, · ) ein nullteilerfreier Ring und sei r ∈ R mit r 6= 0. Zeigen Sie, dass
für alle n ∈ N rn := r| · .{z
. . · r} 6= 0 .
n
• Sei (R, +, · ) ein endlicher nullteilerfreier Ring mit Eins (endlich bedeutet, dass
die Menge R nur endlich viele Elemente enthält). Zeigen Sie, dass jedes von 0
verschiedene Element r ∈ R ein inverses Element bezüglich der Multiplikation
· besitzt.

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