¨Ubungen zur Vorlesung Gew ¨ohnliche Differentialgleichungen

Übungen zur Vorlesung
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Wintersemester 2016/17
H. Olbermann
Übungsblatt Nr. 7, Abgabe bis 2.12.16, 11.00 Uhr durch Einwurf in das Postfach von
H. Olbermann im Raum A 514
Aufgabe 1: GDGL mit linear beschränkter rechter Seite, 5 Punkte
Es sei D = (a, b) × RN mit −∞ ≤ a < b ≤ +∞, (x0 , y0 ) ∈ D, f ∈ C0 (D; RN ), und f (x, y) sei lokal
Lipschitz-stetig bezüglich y. Weiterhin sei f linear beschränkt, es gebe also ρ, σ ∈ C0 (I), sodass
k f (x, y)k ≤ ρ(x)kyk + σ(x)
∀(x, y) ∈ D .
Zeigen Sie, dass das maximale Existenzintervall der Lösung des AWP
( 0
y (x) = f (x, y(x))
y(x0 ) = y0
gleich ganz (a, b) ist.
Anleitung: Benutzen Sie den Satz über das Randverhalten maximaler Lösungen und die Gronwallsche Ungleichung.
Aufgabe 2: Algebraische Struktur, 5 Punkte
Zeigen Sie anhand eines Beispiels, dass die Menge der Lösungen einer nichtlinearen GDGL im
Allgemeinen keinen reellen Vektorraum/affinen Raum bildet. Muss diese Aussage modifiziert
werden, wenn wie in Aufgabe 1 die rechte Seite linear beschränkt ist?
Aufgabe 3: Lineare Unabhängigkeit, 5 Punkte
Es sei I ein Intervall, λ0 (·; τ, ξ) die maximale Lösung des AWP
( 0
y (x) = A(x)y(x)
y(τ) = ξ ,
mit A ∈ C0 (I; RN×N ). Weiterhin seien µ1 , µ2 , . . . , µN linear unabhängige Lösungen der GDGL
y0 (x) = A(x)y(x). Bestimmen Sie die durch die Formel
λ0 (x; τ, ξ) = c1 µ1 (x) + · · · + cN µN (x)
∀x ∈ I .
gegebenen reelen Zahlen c1 , . . . , cN . Begründen Sie zuerst, warum es ein solches N-tupel (c1 , . . . , cN )
geben muss.
Aufgabe 4: Eine Umkehrung, 5 Punkte
Gegeben sei ein offenes Intervall I, f ∈ C0 (I × RN ; RN ), und die Funktion f (x, y) sei bezüglich y
Lipschitz-stetig.
Zeigen Sie: Ist mit je zwei Lösungen µ1 , µ2 ∈ C1 (J; RN ) mit einem geimeinsamen Lösungsintervall J stets auch die Linearkombination c1 µ1 + c2 µ2 mit c1 , c2 ∈ R eine Lösung der GDGL
y0 (x) = f (x, y(x)) auf J, dann ist die GDGL homogen linear; d.h., es gibt es ein A ∈ C0 (I; RN×N ),
sodass
f (x, y) = A(x)y ∀(x, y) ∈ I × RN .

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