Blatt V4 - Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. R. Walker
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. A. Reiswich
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 4
Höhere Mathematik II
28.04.16
el, kyb, mecha, phys
Vortragsübungen
Aufgabe 13. Gegeben seien die folgenden Vektoren des R4 :
 
 
 
1
−2
3
2
−4
0



a=
b=
c=
1 ,
−2 ,
1 ,
0
0
1
 
4
2

d=
2
1
(a) Ist {a, b, c, d} eine Basis des R4 ?
(b) Bestimmen Sie die Dimension, sowie eine Basis des Unterraums span{a, b, c, d}.
Aufgabe 14. Gegeben sei die lineare Abbildung f : R2 → R3 , (x, y) 7→ (2x + y, 4x + 2y, 0).
(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Standardbasen.
(b) Geben Sie den Kern und das Bild von f an.
(c) Welche Dimension haben Ker(f ) bzw. Im(f )?
(d) Ist f injektiv?
Aufgabe 15. Sei f : V → W eine lineare Abbildung und {u1 , u2 } eine Basis des Kerns von f .
Weiter seien v1 , v2 ∈ V so gewählt, dass {f (v1 ), f (v2 )} eine Basis des Bildes von f ist. Zeigen
Sie, dass {u1 , u2 , v1 , v2 } eine Basis von V bildet.
Aufgabe 16. Sei V ein Vektorraum mit Basis B = {v1 , v2 , v3 } und W ein Vektorraum mit Basis
C = {w1 , w2 }. Bezüglich dieser Basen sei die lineare Abbildung f : V → W durch die darstellende
Matrix
1 2 −1
Mf =
3 3 −3
gegeben.
(a) Geben Sie die Koordinaten der Vektoren f (v2 ) und f (2v1 + v3 ) in der Basis C an.
(b) Zeigen Sie, dass durch C 0 = {w10 , w20 } mit w10 = w1 + w2 und w20 = 2w2 ebenfalls eine Basis
von W gegeben ist.
(c) Bestimmen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen B und C 0 .
1

Download Report