Blatt 5 - Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. R. Walker
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. A. Reiswich
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Höhere Mathematik II
Blatt 5
13.05.16
el, kyb, mecha, phys
Gruppenübungen
Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 13.05.2016 in den
Übungsgruppen.
Notation:
1.) Mit En bezeichnen wir die Standardbasis (kanonische Basis) von Kn , d.h. En = (e1 , . . . , en ).
2.) Sind V, W K-Vektorräume, S : V → W linear und B eine Basis von V und B 0 eine Basis
von W , dann verwenden wir folgende Bezeichnungsweisen:
• Für v ∈ V bezeichne B v ∈ Kdim V den Koordinatenvektor von v bezüglich der Basis
B.
• Ist v ∈ Kn , so bedeutet die Schreibweise


x1
 
v =  ...  ,
xn
dass (x1 , . . . , xn )> der Koordinatenvektor von v bezüglich der Standardbasis ist.
• Die Matrix
Das heißt
S
B0 MB
bezeichne die darstellende Matrix von S bzgl. der Basen B und B 0 .
B0 (Sv)
=B0 MSB ·B v
für alle v ∈ V .
Aufgabe 21. (schriftlich)
(a) Berechnen Sie die Inverse A−1 von


1 −1 −2
A = 2 −1 −3 .
3 2
1
(b) Gegeben seien die folgenden Vektoren in R2
1
1
v1 = w 2 =
, v2 =
,
0
1
−1
w1 =
,
1
sowie die Basen B = (v1 , v2 ) und B 0 = (w1 , w2 ). Weiter sei id : R2 → R2 die identische
Abbildung.
Bestimmen Sie
id
B MB ,
id
B0 MB0 ,
id
E2 MB0 ,
1
id
B0 ME2 ,
id
B0 MB .
Aufgabe 22.
(a) Show the following: If A ∈ Kn×n is symmetric and invertible, then A−1 is symmetric as well.
(b) Consider the diagonal matrix


λ1 0 . . . 0
.
.. ..

.
. .. 
0

D = diag (λ1 , . . . , λn ) :=  . .
 ∈ Kn×n .
.
.. .. 0 
 ..
0 . . . 0 λn
Give conditions for the λi , i = 1, . . . , n, such that D is invertible. Determine the inverse
D−1 in that case.
a b
(c) Let A =
∈ K2×2 . Give conditions for a, b, c, d ∈ K such that A is invertible.
c d
Determine the inverse A−1 in that case.
Aufgabe 23. Gegeben seien die K-Vektorräume U, V, W , versehen mit den Basen A, B bzw. C .
Weiter seien S : U → V und T : V → W linear. Zeigen Sie, dass folgende Rechenregeln gelten.
(a)
T
C MB
· B MSA =
(T S)
.
C MA
(b) Falls S : U → V bijektiv ist, so gilt
S
B MA
−1
=
S −1
A MB .
Hinweis: Verwenden Sie Teil (a).
Aufgabe 24. Es sei B = (v1 , v2 , v3 ) eine Basis von

−1
id

3
E3 MB =
0
R3 und

0 1
0 1 .
2 1
(a) Geben Sie B vi , i = 1, 2, 3, an.
(b) Geben Sie die Koordinatenvektoren von v1 , v2 , v3 bezüglich der Standardbasis an.
(c) Bestimmen Sie B Mid
E3 .
(d) Geben Sie B ei , i = 1, 2, 3, an.
2
Aufgabe 25. Es sei B = (v1 , v2 , v3 ) eine Basis des R3 mit
 
 
 
−1
0
1





3 , v2 = 0 , v3 = 1 .
v1 =
0
2
1
Weiter sei S : R3 → R3 linear mit


1 −1 0
S
3 1 1  .
B MB =
2 0 1
Bestimmen Sie
S
B ME3 ,
S
E3 MB ,
3
S
E3 ME3 .

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