Lösungsverfahren für gewöhnliche Di erentialgleichungen 1 Begri

Lösungsverfahren für gewöhnliche Dierentialgleichungen
1 Begrisklärung
Denition:
e ⊆ R1+(n+1)N und eine Funktion F : D
e → RN . Eine Gleichung der Form
Gegeben seien n und N ∈ N, eine Menge D
F (t, x, ẋ, · · · , x(n−1) , x(n) ) = 0
mit Variablen t ∈ R und x, ẋ, · · · , x(n−1) , x(n) ∈ RN heiÿt Dierentialgleichung (n-ter Ordnung) mit Dimension N .
Eine auf einem Intervall I n-mal dierenzierbare Funktion λ : I → RN heiÿt Lösung der Dierentialgleichung, wenn für alle
t ∈ I gilt
F (t, λ(t),
dn λ
dn−1 λ
dλ
(t), · · · , n−1 (t), n (t)) = 0
dt
dt
dt
Das Intervall I nennt man das zur Lösung λ(t) gehörige Lösungs- oder Existenzintervall.
Der in der Denition angegebene Typ ist implizit. Nicht immer ist diese Gleichung nach x(n) auösbar. Ansonsten aber
interessieren wir uns für die explizite Darstellung:
x(n) = f (t, x, ẋ, · · · , x(n−1) )
Wobei die Funktion f : D → RN als die rechte Seite bezeichnet wird und D ⊆ R1+nN als Denitionsbereich.
Für N = 1 sprechen wir im Folgenden von skalaren Dierentialgleichungen und für N > 1 von
Vektordierentialgleichungen.
Beispiel:
F (t, x, ẋ) := ẋ − x + t2 . Daraus wird explizit ẋ = x − t2 . Die Lösung ist λ(t) := 2 + 2t + t2 + et . Diese Lösung ist auf dem
dem ganzen Intervall (−∞, ∞) eine Lösung, weil die Gleichung für alle t ∈ R gilt.
Lösungen von Dierentialgleichungen treten nicht einzeln sondern stets in Scharen auf.
Beispiel:
Hier ist die rechte Seite unabhängig von x ist: ẋ = ln t. Jede Stammfunktion der rechten Seite mit einer beliebigen
additiven Konstante ist eine Lösung dieser Dierentialgleichung.
Auch können sich verschiedene Lösungen auf spezielle Intervalle beschränken und eine Dierentialgleichung somit für
unterschiedliche Intervalle jeweils eine andere Lösung besitzen.
Beispiel:
Allerdings gibt es auch das andere Extrem. Die DGL: ẋ = x2 − t besitzt beispielsweise keine Lösung, die sich durch
elementare Funktionen oder deren Integrale schreiben lässt. Dies wurde 1841 bewiesen. Allerdings existiert noch eine
Lösung.
Beispiel:
Bei folgender DGL existiert keine einzige Lösung: ẋ2 + 1 = 0. Denn eine reelwertige Funktion kann die Lösungsidentität
oensichtlich nicht erfüllen.
Beispiel: eines 3-dimensionalen System 1. Ordnung
ẋ1
ẋ2
ẋ3
= −x1
= x1 − x2
= x2 + e−t
1
In Vektorform: ẋ = f (t, x), f : R4 → R4 Eine Lösung hierfür:



λ1 (t)
αe−t

αte−t + βe−t
λ(t) =  λ2 (t)  := 
−t
−t
λ3 (t)
γ − (1 + α + β)e − αte

Folgende Form nennen wir linear:
x(n) =
n−1
P
Ai (t)x(i) + g(t)
i=0
Hier handelt es sich nun um den inhomogenen Fall. Ohne das g(t) wäre es homogen. Wenn wir diese beiden Begrie nun
kennen.
Superpositionsprinzip: c1 λ1 (t) + c2 λ2 (t) ist eine Lösung.
Im Gegensatz dazu bezeichnen wir diese Form als autonom:
x(n) = f (x, ẋ, · · · , x(n−1) )
Hier gilt: Die Lösung ist konstant, wenn f (c, 0, · · · , 0) = 0.
Auÿerdem gilt: Translationsinvarianz
2 Lösungsmethoden
Lösungsmethode für ẋ = f (t, x): Trennung der Veränderlichen
ẋ = g(t) · h(x)
Also eine Dierentialgleichung 1. Ordnung bei der sich die rechte Seite als Produkt von zwei Funktionendarstellen lässt, die
jeweils von nur einer der beiden Variablen t oder x abhängen.
Prozedur
(a)
(b)
(c)
(d)
Beispiel ẋ = x2 t
dx
dt
dx
dt
= x2 t
= tdt, x 6= 0
1
− x = t /2 + β , x 6= 0, β ∈ R
2
x = t2−2
+2β , t + 2β 6= 0, β ∈ R
= g(t)h(x)
= g(t)dt, h(x) 6= 0
R
dx
g(t)dt
h(x) =
Nach x auösen.
dx
h(x)R
dx
x2
2
Lösungsmethode für ẋ = f (t, x) mit AWP: Trennung der Veränderlichen
ẋ = g(t) · h(x), x(t0 ) = x0
Also eine Dierentialgleichung 1. Ordnung bei der sich die rechte Seite als Produkt von zwei Funktionendarstellen lässt, die
jeweils von nur einer der beiden Variablen t oder x abhängen.
(a)
(b)
(c)
(d)
dx
h(x)
Prozedur
= g(t)h(x), x(t0 ) = x0
= g(t)dt, x(t0 ) = x0 , h(x) 6= 0
Rx dξ
Rt
g(τ )dτ
h(ξ) =
dx
dt
x0
t0
Nach x auösen.
Beispiel ẋ = x2 t
, x(t0 ) = x0
, , x(t0 ) = x0
dx
2
dt = x t
dx
x2 = tdt
− x10 −
1
x
= t2 /2 − t0 2 /2, x 6= 0, β ∈ R
x=
2
2x0
2+x0 (t0 2 −t2 )
Lösungsmethode: Variation der Konstanten
Gegeben seien zwei stetige Funktionen a, b : R → R und ein Punkt (t0 , x0 ) ∈ R2 . Zu Berechnung ist die Lösungs des folgenden
Anfangswertproblems:
ẋ = a(t)x + b(t), x(t0 ) = x0
1. Lösen des homogenen Problems durch Trennung der Veränderlichen
ẋ = a(t)x, x(t0 ) = x0
(?)
⇒
Rx
Rt
1/xdx =
a(τ )dτ
t0
x0
2. Wir suchen eine spezielle Lösung durch Variation der Konstante
Rt
a(τ )dτ
t0
λ(t) := c(t) e| {z }
homogeneLsg
3. Einsetzen dieser Lösung in (?) um c(t) zu bestimmen
˙ = a(t)λ(t), x(t0 ) = x0
⇒ λ(t)
Rt
Rt
a(τ )dτ
⇒ ċ(t)e
t0
−
⇒ ċ(t) ≡ b(t)e
a(τ )dτ
t0
+ c(t)e
Rt
Rt
a(τ )dτ
t0
a(t) = a(t)c(t)e
+ b(t)
a(τ )dτ
t0
4. c(t) ist Lösung der DGL (mit von x unabh. rechter Seite)
−
⇒ ẋ = ċ(t) = b(t)e
Rt
a(τ )dτ
t0
5. Integration beider Seiten von t0 nach t liefert
Rt
c(t) − c(t0 ) ≡
−
b(s)e
Rs
t0
a(τ )dτ
ds
t0
6. Berücksichtigung des Anfangswertproblems
⇒ λ(t0 ) =c(t0 ) = x0

 Rt

Rs


Zt
− a(τ )dτ
 t a(τ )dτ

t0

0
⇒ λ(t) ≡  x0 + b(s)e
ds
 e| {z }
|{z}
 homogeneLsg

 c(t0 ) t|0
{z
}
spezielleLsg,c(t)
Lösungsmethode: Bernoullische Dierentialgleichung
Gegeben seien zwei auf J stetige Funktionen a, b : R → R, g 6≡ 0, α ∈ R \ {0, 1}, D = J × R+ . Berechnung der Lösung der
Dierentialgleichung:
ẏ = a(x)y + b(x)y α
Substitution:
1
y = u 1−α , u = y 1−α
⇒ u̇ = (1 − α)y −α · ẏ
Einsetzen:
u̇ = (1 − α)y −α (f · y + g · y α )
Lösen der neuen Dierentialgleichung:
u̇ = (1 − α)f (x) · u + (1 − α)g(x)
3
Lösungsmethode Riccatische DGL
ẏ = f (x)y 2 + g(x)y + h(x)
Diese Art der Dierentialgleichung kann auf eine lineare Dierentialgleichung reduziert werden. Falls man eine spezielle
Lösung sofort erkennt.
Beispiel ẏ = x1 y2 − x1 y + 1
3
2
1. Man muss eine spezielle Lösung erraten
Hier x 7→ yp (x) = x
2. Über eine Substitution und über eine Bernoullische DGL stellt sich heraus, dass z :=
Gleichung löst: ż + (2f yp + g)(x) · z + f (x) = 0
1
z := y−x
löst ż + (2 x13 x + x12 ) · z + x13 = 0
1
y−yp
eine Lösung folgende
3. Wir fassen zusammen
ż = − x12 z −
1
x3
4. Wir haben nun eine lineare DGL, die wir lösen können.
z(x) = c · e1/x − (1 + 1/x)
5. Wir Resubstituieren: y = z1 + yp
y(x) = x +
1
c·e1/x −(1+1/x)
Lösungsmethode (Euler) Homogene Dierentialgleichung
ẏ = f ( xy )
Wir berechnen das ganze an folgendem Beispiel, dass zu so einer Dierentialgleichung umgeformt werden kann.
xẏ + y log x − y − y log y = 0
⇒ −y · (log x − 1 − log y) = xẏ
⇒ y · (log y − log x + 1) = xẏ
⇒ ẏ = xy (1 + log xy )
1. Substitution y(x) = x · u(x), ẏ = xu̇ + u =: h(u)
Hier u̇ = (h(u) − u)1/x = u log u · 1/x
2. Diese lineare DGL lösen
Hier yk (x) = x · ekx , k ∈ R+
Reduktion auf Systeme 1. Ordnung Ein N -dimensionales System n-ter Ordnung kann auf ein N · n-dimensionales
System 1. Ordnung reduziert werden.
ẏ1
ẏ2
= y2
= y3
ẏn−1
ẏn
= yn
= f (t, y, ẏ, · · · , yn )
..
.
Umformung in Integralgleichung
4
ẋ = f (t, x), x(t0 ) = x0
Eine Lösung wäre: λ̇(t) = f (t, λ(t)) für alle λ ∈ I , λ(t0 ) = x0
Rt
Dies ist äquivalent zu: λ(t) = x0 + f (s, λ(s))ds für alle t ∈ I
t0
Lösungsmethode
ẏ = f (ax + by + c), y(x0 ) = y0 ?
wobei a, b, c ∈ R mit b 6= 0 und f eine stetige Funktion über R ist.
Wir setzen:
u(x) = ax + by(x) + c
Für jede Lösung der DGL ? erfüllt dann u das AWP:
u̇ = a + bf (u), u(x0 ) = ax0 + by0 + c
Dann haben wir eine Lösung von ? mit:
y(x) =
1
(u(x) − ax − c)
b
Lösungsmethode exakte Dierentialgleichung
f (x, y) + ẏg(x, y) = 0, y(x0 ) = y0
Am folgenden Beispiel:
2x+4y+2
ẏ = − 4x+12y+8
, y(0) = 1
⇒ 2x + 4y + 2 + (4x + 12y + 8)ẏ = 0
1. Prüfung der Exaktheit:
∂
∂x (4x
∂g
∂f
∂x (x, y) = ∂y (x, y)
∂
∂y (2x + 4y + 2)
+ 12y + 8) = 4 =
⇒ DGL ist exakt (Bedingung genügt auf Rechtecksgebiet)
2. Berechnung der Stammfunktion
es muss gelten ∂x ∂y F (x, y) = ∂y ∂x F (x, y)
F (x, y) =
⇒
R
2x + 4y + 2dx + c(y) = x2 + 4xy + 2x + c(y)
∂
∂y F (x, y)
= 4x + ċ(x)
Dieses F (x, y) ist das gerade errechnete
Es muss nun gelten 4x + ċ(x) = g(x, y)
3. Das c(x) berechnen um F (x, y) zu vervollständigen
4x + ċ(x) = (4x + 12y + 8)
⇒ ċ(x) = 12y + 8
⇒ c(y) =
R
12y + 8dy = 6y 2 + 8y
⇒ x2 + 4xy + 2x + 6y 2 + 8y = c = F (x, y)
4. Dieses c bleibt variable um nun die Stammfunktion an das AWP anzugleichen
x = 0, y = 1 → F (x, y) ⇔ c = 14
Um dieses Rezept zum lösen einer exakten Dierentialgleichung anwenden zu können muss die DGL in der impliziten Form
stehen. Es gibt häug verschiedene Möglichkeiten so eine DGL in eine implizite Form zu bringen. Davon können manche
5
exakt sein und andere auch nicht. Und manchmal ist eine solche DGL auch gar nicht exakt und benötigt einen
integrierenden Faktor.
Lösungsmethode: Bestimmung des integrierenden Faktors
f (x, y) + ẏg(x, y) = 0, y(x0 ) = y0
Am folgenden Beispiel:
xy 2 − y 3 + (1 − xy 2 ) ẏ = 0
| {z } | {z }
f
g
1. Wir überprüfen wieder Exaktheit und es schlägt hier fehl
2. Folgendes
h Berechnen
Hier
i
∂g
∂f
∂x (x, y) − ∂y (x, y)
2
1
xy 2 −y 3 · −y − 2xy +
1
f (x,y)
·
3y 2 = − y2 =
ċ(y)
c(y)
3. Nun ist der Integrierende Faktor
ċ(y)
c(y) = Lösung von oben
⇒ c(y) = 1/y 2
4. c(y)f (x, y) + ẏc(y)g(x, y) = 0 ist jetzt exakt
(x − y) + (1/y 2 )ẏ = 0 kann jetzt wie oben beschrieben gelöst werden, weil exakt
Es kann direkt eine Formel für den Integrierenden Faktor angegeben werden (vgl. Übung Aufg. 13)
c(z) = e
R
∂x g−∂y f
xf −yg
3 Numerische Verfahren
Dierentialgleichungen können sehr gut zweidimensional geometrisch veranschaulicht werden. Man denke sich einfach zu
jedem Punkt (t, x) bzw. (x, y) ein sogenanntes Linienelement, also einen kleinen Vektor mit der Steigung von f (t, x). Die
Gesamtheit all dieser Linienelemente nennt man Richtungsfeld. Wenn man dann noch die Isoklinen einzeichnet. Also
Geraden die die Linienelemente mit gleicher Steigung verbinden, dann kann man über diese geometrische Sichtweise schon
viel über die DGL erfahren.
Lösung im geometrischen Sinne:
Gegeben: ẋ = f (t, x), x(t0 ) = x0
Eine Lösung dieses Problems zu nden heiÿt eine dierenzierbare Kurve (t, λ(t)) so zu bestimmen, dass sie durch den Punkt
(t0 , x0 ) verläuft und dass ihre Richtung in jedem Kurvenpunkt mit der vom Vektorfeld vorgegebnen Richtung übereinstimmt.
Über solche und andere Überlegungen kommt man auf eine weitere Möglichkeit viel über die Dierentialgleichungen zu
erfahren: numerische Verfahren.
Hier gibt es zum Beispiel sogenannte Polygonzugverfahren. Diese liefern natürlich keine exakten Ergebnisse, aber
immerhin liefern sie auch etwas bei Dierentialgleichungen, die keine elementare Lösung haben. Eines dieser Verfahren ist
das folgende:
Euler-Polygon:
p(t)
x0 + (t − t0 )f (t0 , x0 ) f r
p(tk ) + (t − tk )f (tk , p(tk )) f r
t ∈ [t0 , t1 ]
t ∈ [tk , tk+1 ]
Mit Hilfe eines solchen Euler-Polygons kann man durch Grenzübergänge sogar exakte Ergebnisse berechen. Dazu folgendes
0) i
Beispiel: ẋ = αx , x(t0 ) = x0 , α ∈ R. Das Euler-Polygon nach i Schritten bezeichnen wir mit qi (τ ) = x0 (1 + α(τ −t
) . Wir
i
machen nun eine Verfeinerung mit unendlich vielen Schritten und erhalten:
lim qi (τ ) = x0 eα(τ −t0 ) .
i→∞
6
4 Existenztheorie
Wie sooft üblich in der Analysis fragen genügt uns schon das Wissen von der Existenz einer Lösung und nicht deren
genauer Wert. So können wir beispielsweise mit den Konvergenzkriterien bei Folgen nie direkt auf den Grenzwert schlieÿen.
Diese Überlegungen von Grenzfunktionen in Verbindung mit der bereits erwähnten Transformation auf eine äquivalente
Integralgleichung für Dierentialgleichungen, führt auf die Einführung der sogenannten Picard-Iterierten und der damit
verbunden Folge.
λk+1 (t) := x0 +
Rt
f (s, λk (s))ds, k ∈ N0
t0
Falls diese Folge (λk (t))k∈N0 konvergent ist so ist die Grenzfunktion λ∞ (t) eine Lösung der Dierentialgleichung.
Der Satz von Peano
Wenn wir nach der Existenz einer Lösung fragen, so stellt sich auch die Frage, auf welchen Intervall diese Lösung dann
überhaupt existiert. Es stellt sich also im ZUsammenhang mit dem allgemeinen Anfangswertproblem die Frage, ob wir
auf Grund der vorliegenden Daten des Denitonsbereichs eine quantitative a priori-Aussage über die Mindestgröÿe des zu
erwartenden Lösungsintervalls machen können.
Satz von Peano, quantitativ Gegeben sie ein Anfangswertproblem der Form
ẋ = f (t, x), x(t0 ) = x0 ,
bei dem f : Za,b → RN eine stetige Funktion ist mit dem Denitionsbereich
Za,b := [t0 − a, t0 + a] × Ub N (x0 ), a > 0, b > 0.
Dann existiert mindestens eine Lösung des Anfangswertproblems auf dem Intervall [t0 − α, t0 + α], wobei
b
, M := max {kf (t, x)k (t, x) ∈ Za,b }.
α := min a, M
Der Trivialfall M = 0 ist hierbei mit " Mb = ∞"eingeschlossen.
Und mit einer kleinen Änderung des Denitionsbereichs erhalten wir:
Satz von Peano, qualitativ Gegeben sei eine stetige Funktion f : D → RN auf einer oenen Teilmenge D des R1+N .
Dann besitzt jedes Anfangswertproblem:
ẋ = f (t, x) , x(t0 ) = x0 , (t0 , x0 ) ∈ D
eine lokale Lösung, d.h. es gibt ein β = β(t0 , x0 ) > 0 derart, dass das Anfangswertproblem auf dem Intervall [t0 − β, t0 + β]
mindestens ein Lösung besitzt.
Der nächste Satz geht noch einen Schritt weiter. Er liefert neben der Existenz auch die Eindeutigkeit. Das Entscheidende,
was uns diesen Satz ermöglicht ist eine kleine aber feine Verschärfung der Bedingungen. Immer noch haben wir folgendes
Problem:
ẋ = f (t, x) , x(t0 ) = x0 , (t0 , x0 ) ∈ D
Nur fordern wir jetzt an die Funktion f nicht nur ihre Stetigkeit, sondern eine besondere Form der gleichmäÿigen Stetigkeit.
Es gelte nämlich die Lipschitz-Bedingung:
kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L kx − yk, für alle (t, x), (t, y) ∈ Za,b
7
Es folgt der:
Satz von Picard-Lindelöf, quantitativ Gegeben sie ein Anfangswertproblem der Form
ẋ = f (t, x), x(t0 ) = x0 ,
bei dem f : Za,b → RN eine stetige Funktion ist mit dem Denitionsbereich
Za,b := [t0 − a, t0 + a] × Ub N (x0 ), a > 0, b > 0.
Ferner gebe es eine Konstante L ≥ 0 mit der Eigenschaft
kf (t, x) − f (t, y)k ≤ L kx − yk, für alle (t, x), (t, y) ∈ Za,b
Dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems auf dem Intervall [t0 − α, t0 + α], wobei
b
α := min a, M
, M := max {kf (t, x)k (t, x) ∈ Za,b }.
Der Trivialfall M = 0 ist hierbei mit " Mb = ∞"eingeschlossen.
Dieser Satz hat entscheidende Nachteile:
• Ist nur in der Lage einen kleinen, kompakten Teil des Lösungsintervalls zu erkennen.
• Die Bedingungen sind auÿer bei leichten Beispielen schwer nachzuprüfen. Und somit ist die eindeutige Lösbarkeit einer
Dierentialgleichung dadurch kaum anzusehen.
Wie beim Satz von Peano suchen wir eine mehr qualitative Aussage. Beim Satz von Peano haben wir einfach den zylinderförmigen Denitionsbereich durch eine beliebige oene Teilmenge des RN ersetzt. Dies führt uns auch hier zum Ziel. Jedoch ist
es dann nötig die Lipschitz-Bedinung auf dieser oene Teilmenge nach zuweisen. So eine globale Eigenschaft ist allerdings
schwierig nachzuweisen und das Problem wird gelöst, indem man sich auf eine lokale Variante beschränkt.
Denition: Gegeben sei eine Funktion g : D ⊆ RM +N → RK . Gibt es dann eine Konstante L > 0 mit
kg(s, x) − g(s, y)k ≤ L kx − yk, für alle (s, x), (s, y) ∈ D,
so sagt man, die Funktion g(s, x) genüge auf D einer (globalen) Lipschitz-Bedingung bezüglich x (mit der LipschitzKonstante L).
Wenn es zu jedem Punkt in D eine Umgebung U gibt, sodass die Einschränkung von g(s, x) auf U ∩ D dort einer LipschitzBedigung bezüglich x genügt, so heiÿt g(s, x) (lokal) Lipschitz-stetig bezüglich x in D.
Ist g(s, x) von s unabhängig, so verzichtet man bei den vorstehenden Begrisbildungen auf den Zusatz "bezüglich x ".
Satz von Picard-Lindelöf, qualitativ Gegeben sei eine stetige Funktion f : D → RN , die bezüg
ist, auf einer oenen Teilmenge D des R1+N . Dann besitzt jedes Anfangswertproblem:
Somit können wir jetzt folgern:
ẋ = f (t, x) , x(t0 ) = x0 , (t0 , x0 ) ∈ D
eine eindeutig lokale Lösung, d.h. es gibt ein β = β(t0 , x0 ) > 0 derart, dass das Anfangswertpr
[t0 − β, t0 + β] genau eine Lösung besitzt.
Wir haben die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen in einer bestimmten Umgebung um den Anfangspunkt erreicht.
Wie kann man nun daraus eine Lösung auf ganz R nden. Kann man vielleicht durch eine Aneinanderreihung der einzelnen
Lösungen der Umgebungen, durch eine Art Lösungsfortsetzung, dies erreichen. Dies geht leider nicht so einfach. Was wir
aber bis jetzt erreichen können ist folgender Satz:
Globaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz Die Menge D ⊆ R1+N sei oen und die für alle (t, x) ∈ D erklärte Funktion
f : D → RN sei stetig und bezüglich x Lipschitz-stetig. Zu jedem (t0 , x0 ) ∈ D gibt es dann ein eindeutig bestimmtes, t0
ẋ = f (t, x) , x(t0 ) = x0 , (t0 , x0 ) ∈ D
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