12GE - Metzler Physik
Lösungen der Aufgaben
Raymond K NEIP, LYC ÉE DES A RTS ET M ÉTIERS
Mai 2016
Folgende Seiten enthalten die Lösungen zu einem Teil der Aufgaben aus dem Buch Metzler-Physik und
Nücke-Reinhard Physikaufgaben für technische Berufe. Das Dokument wird im Laufe des Jahres
vervollständigt. Für jeden Hinweis, der zur Verbesserung dieses Dokumentes beitragen könnte, wäre ich sehr
dankbar.
1
1
Die gleichförmige Kreisbewegung
Aufgabe 26 Seite 43 M
Eine Festplatte dreht sich mit 5400 Umdrehungen pro Minute. Der äußere Rand hat 5 cm Abstand von
der Mitte. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit eines Punktes in diesem Abstand.
Lösung
Angaben:
f = 5 400 min−1 = 90 Hz
r = 0.05 m
Bahngeschwindigkeit:
v
= ωr = 2πf r
v
=
2π 90 Hz 0.05 m
v
=
28.27 m/s = 101.8 km/h
Der äußere Rand der CD bewegt sich mit einer Bahngeschwindigkeit von über 100 km/h.
Aufgabe 27 Seite 43 M
Berechnen Sie die Anzahl der Umdrehung pro Minute eines Fahrradreifens (Durchmesser 28 Zoll = 711 mm)
bei einer Geschwindigkeit von v = 18 km/h.
Lösung
Angaben:
r = 0.3555 m
v = 18 km/h = 5 m/s
Umdrehungszahl des Rads:
v
f
f
=
2πf r
v
5 m/s
=
=
2πr
2π 0.3555 m
= 2.238 Hz = 134.3 min−1
Unter diesen Bedingungen führt das Rad etwa 134 Umdrehungen pro Minute durch.
Aufgabe 28 Seite 43 M
Der mittlere Abstand der Erde von der Sonne heißt Astronomische Einheit und beträgt 1 AE =
149.6 · 106 km. Berechnen Sie mit der Umlaufdauer T = 1 Jahr = 365.25 d die Bahngeschwindigkeit der
Erde um die Sonne in m/s und km/h.
Lösung
Angaben:
r = 1 AE = 149.6 · 109 m
T = 365.25 d = 31 557 600 s
Bahngeschwindigkeit der Erde bei ihrer Reise um die Sonne:
v
=
ωr
v
=
v
=
v
=
z}|{
2π
2πr
r =
T
T
2π149.6 · 109 m
31 557 600 s
29 785.7 m/s
v
=
29.8 km/s
v
=
107 228.4 km/h
2
Die Erde bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von über 100 000 km/h auf ihrer Bahn um die Sonne.
Der Ausdruck 2πr entspricht dem Umfang der (kreisförmigen) Bahn der Erde um die Sonne.
Aufgabe 3 Seite 52 NR
Die Schnittgeschwindigkeit einer Kreissäge soll zwischen v1 = 50 m/s und v2 = 65 m/s liegen. Die Drehfrequenz der Welle beträgt n = 2 800 min−1 . In welchem Größenbereich muss der Sägeblattdurchmesser
liegen?
Lösung
Angaben:
v1 = 50 m/s . . . v2 = 65 m/s n = 2 800 min−1 , also: f = 46.67 Hz
Durchmesser d des Sägeblatts:
ω
=
v
=
v
=
d
=
d
=
v
r
2
r
π
f
|{z}
dπf
50 m/s
v
=
πf
π 46.67 Hz
0.341 m
2πf =
Für die beiden angegebenen Geschwindigkeiten ergeben sich Durchmesser von 0.341 m und 0.443 m.
Aufgabe 7 Seite 52 NR
Der Reifendurchmesser eines Kraftfahrzeuges beträgt 550 mm.
a) Wie viele Umdrehungen je Minute macht das Rad bei einer Fahrgeschwindigkeit von 80 km/h?
b) Wie viele Umdrehungen hat dieses Rad nach s = 100 000 km Fahrstrecke ausgeführt?
Lösung
Angaben:
d = 550 mm
v = 80 km/h = 22.22 m/s
a) Drehzahl des Rads:
v
r
ω
=
2πf =
v
=
v
=
f
=
f
=
2r πf
|{z}
dπf
v
πd
12.86 Hz = 771.66 min
Das Rad macht also etwa 771.7 Umdrehungen pro Minute.
b) Strecke einer Umdrehung:
U = 2πr = πd = 1.7279 m
Anzahl der Umdrehungen:
s
100 000 000 m
=
= 57.87 · 106
U
1.7279 m
3
(1)
Aufgabe 8 Seite 52 NR
Bei einem Unfall an einer Schleifscheibe löst sich ein Stück
vom Umfang bei einer Drehfrequenz von n = 3000 min−1 . Der
Scheibendurchmesser beträgt d = 200 mm. Das abgesprengte
Stück soll senkrecht nach oben fliegen. Welche Höhe würde es
ohne Schutzmaßnahme erreichen?
Lösung
Angaben:
n = 3000 min−1 , also: f = 50 Hz d = 200 mm
Geschwindigkeit des Stücks:
ω
=
2πf / = /
v
v
= |{z}
2r πf
= dπf
v
=
v
r
31.42 m/s (= 113 km/h)
Das Stück fliegt mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v0 = 31.42 m/s senkrecht nach oben. Unter der
Verwendung der Gleichungen der gleichförmig beschleunigten Bewegung (siehe Kapitel senkrechter Wurf ):
y(t)
=
a
=
1
1 2
at + v0 t = − gt2 + v0 t
2
2
∆v
v(t) − v0
−g =
=
t
t
Ist die maximale Höhe erreicht, so gilt: y(t) = hM ax und v(t) = 0.
hM ax
hM ax
hM ax
1 v02
v0
g
+ v0
2 g2
g
2
31.42 m/s
v0
=
=
2g
2 9.81m/s2
= 50.3 m
= −
Ohne Schutzvorrichtung (und ohne Luftwiderstand) könnte das Stück über 50 m hoch fliegen.
4
2
Zentripetalbeschleunigung - Zentripetalkraft
Aufgabe 1 Seite 35 M
Ein Körper (m = 0.4 kg) wird an einer Schnur (l = 0.8 m) 80-mal in der Minute auf einem Kreis, der in
einer waagerechten Ebene liegt, herumgeschleudert. Berechne Sie
a) die Zentripetalkraft;
b) die Umdrehungszahl, bei der die Schnur reißt, wenn ihre Zuigfestigkeit mit 500 N angegeben ist.
Lösung
Angaben:
m = 0.4 kg
Frequenz: f =
l = 0.8 m
80
60
s−1 =
4
3
f = 80 min−1
Hz
a) Betrag der Zentripetalkraft:
FZ = m ω 2 r
wobei in dieser Aufgabe der Radius r der Länge l der Schnur entspricht
und ω = 2πf ist.
Also gilt:
FZ
FZ
= m (2πf ) l
=
0.4 kg (2π
=
22.46 N
4
Hz)2 0.8 m
3
b) Bedingung: FM ax = FZ = 500 N
Berechnung der Frequenz:
FZ
f
f
f
= m (2π f )2 l
r
FZ
=
4π 2 m l
s
500 N
=
4π 2 0.4 kg 0.8 m
=
6.29 Hz = 377.5 min−1
Aufgabe 2 Seite 35 M
Ein Körper bewegt sich mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Untersuchen Sie
die Änderung der Zentripetalbeschleunigung, wenn die Geschwindigkeit bzw. der Radius verdoppelt wird.
Lösung
a) Die Geschwindigkeit v wird verdoppelt. Es gilt:
aZ =
v2
r
also:
aZ ∼ v 2
Wird die Geschwindigkeit v verdoppelt, vervierfacht sich die Zentripetalbeschleunigung aZ .
b) Der Radius r wird verdoppelt. Es gilt:
aZ =
v2
r
also:
aZ ∼
1
r
Wird der Radius r verdoppelt, dann wird die Zentripetalbeschleunigung aZ halbiert.
c) Werden sowohl Geschwindigkeit als auch Radius verdoppelt, so gilt:
v0 = 2 v
und
5
r0 = 2 r
Zentripetalbeschleunigung:
a0Z
=
a0Z
=
a0Z
=
(2v)2
4v
v 02
=
=
0
r
2r
2r
v2
2
r
|{z}
2 aZ
In diesem Fall wird die Zentripetalbeschleunigung aZ verdoppelt.
Aufgabe 4 Seite 35 M
Untersuchen Sie die Abhängigkeit der Zentripetalkraft aufgrund der täglichen Drehung der Erde um ihre
Achse auf einen mit ihr fest verbundenen Körper (m = 70 kg) von der geographischen Breite.
Lösung
Angaben:
m = 70 kg
Dauer eines Tages1 :
T = 23 h 56 min 04 s = 86 164 s
Mittlerer Radius R der Erde: R = 6370 km
Zentripetalkraft am Äquator:
FZ = m ω 2 r = m
2π
T
2
R
Abbildung 1: Modell der Erde mit eingetragenen Radien und Zentralkräften am Äquator und am Breitengrad λ.
Am Äquator kann der Radius der Bahnbewegung r dem Radius der Erde R gleichgesetzt werden, da der
Zentrum der Kreisbewegung und der Zentrum der Erde identisch sind (siehe Abb. 1).
Befindet man sich jedoch am Breitengrad λ, so ist das Zentrum der Kreisbewegung nicht mehr identisch
mit dem Zentrum der Erde, also rλ 6= R !
Es gilt am Breitengrad λ:
cos λ =
rλ
R
⇒
rλ = R cos λ
1 Es muss zwischen synodischer und siderischer Tagesdauer unterschieden werden. Der synodische Tag beruht auf dem
scheinbaren Lauf der Sonne und beträgt 24 h. Der siderische Tag beruht auf einer Umdrehung der Erde um ihre Achse von
360◦ und ist knapp 4 Minuten kürzer als der synodische Tag.
6
Zentripetalkraft FZ (λ) auf dem Breitengrad λ:
FZ (λ)
= m
FZ (λ)
= m
2π
T
2
2π
T
2
rλ
R cos λ
Übernehmen wir die oben angegebenen Werte, so erhält man für die Zentripetalkraft (λ = 50◦ ):
FZ (λ)
=
70 kg
FZ (λ)
=
1.52 N
2π
86 164 s
2
6.37 · 106 m cos 50◦
Die für die Kreisbewegung notwendige Zentripetalkraft ist wesentlich kleiner als die wirkende Gewichtskraft
(von etwa 700 N ). Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Gewichtskraft Richtung Erdzentrum wirkt; die
notwendige Zentripetalkraft jedoch zum Mittelpunkt der gerade beschriebenen Kreisbewegung wirkt.
Aufgabe 5 Seite 35 M
Ein Auto (m = 30 kg) fährt mit konstanter Geschwindigkeit v = 40 km/h über eine gewölbte Brücke.
Der Radius des Brückenbogens beträgt R = 50 m. Bestimmen Sie die Normalkraft des Autos auf die
Brückenmitte und die Geschwindigkeit, bei der der Wagen abheben würde.
Lösung
Angaben:
m = 1300 kg
v = 40 km/h = 11.11 m/s
R = 50 m
Gewichtskraft FG des Autos:
FG
= mg
=
=
1300 kg 9.81 m/s2
12 753 N
Zentripetalkraft FZ die notwendig ist, damit der Wagen bei v = 40 km/h die beschriebene Kreisbewegung
durchführen kann:
FZ
v2
R
=
m
=
1 300 kg
=
(11.11 m/s)2
50 m
3 209.9 N
Es ist zu erkennen, dass die wirkende Gewichtskraft viel grösser als die notwendige Zentripetalkraft ist;
der Wagen kann unter diesen Bedingungen nicht abheben.
Wirkende Normalkraft in der Brückenmitte:
FN
= FG − FZ
=
9 543.1 N
Sobald die notwendige Zentripetalkraft größer wird als die vorhandene Gewichtskraft hebt der Wagen ab.
Untersuchen wir den Grenzfall, in dem die Normalkraft FN = 0 wird:
7
FN
= FG − FZ = 0
FG
vM ax
= FN
v2
= m M ax
p
p R
=
gR =
9.81 m/s2 50 m
vM ax
=
mg
22.15 m/s = 79.7 km/h
Sobald der Wagen die Geschwindigkeit von vM ax = 79.7 km/h überschreitet, ist die wirkende Gewichtskraft
kleiner als die notwendige Zentripetalkraft. Der Wagen hebt ab.
Aufgabe 29 Seite 43 M
Berechnen Sie die Zentripetalbeschleunigung
a) eine geostationären Satelliten, der auf einer Kreisbahn mit dem Radius 42 000 km so schnell kreist, wie
die Erde sich um ihre eigenen Achse dreht;
b) eines Wettersatelliten, der die Erde in 102 min in einer Höhe von 850 km umkreist (Äquatorradius der
Erde 6 378 km.
Lösung
a) Angaben zum geostationären Satellit:
T = 23 h 56 min 04 s = 86 164 s
r = 42 000 km
Gelegentlich hört man die Aussage, dass sich geostationäre Satelliten in einer Höhe von 36 000 km
aufhalten. Diese Höhe bezieht sich allerdings auf die Erdoberfläche; hierbei muss also der Erdradius addiert
werden (siehe Abb. 2).
Abbildung 2: Höhe eines geostationären Satelliten gegenüber dem Erdzentrum r bzw. der Erdoberfläche h.
Zentripetalbeschleunigung aZ :
2
2π
T
2
aZ
= ω r =
aZ
=
2π
86 164 s
aZ
=
0.223 m/s2
=
0.0228 g =
Die Zentripetalbeschleunigung beträgt
1
44
2
r
4.2 · 107 m
1
g
44
der Fallbeschleunigung g.
b) Angaben zum Wettersatellit:
8
T = 102 min = 6 120 s
r = 850 km + 6378 km = 7 228 km
Zentripetalbeschleunigung aZ :
2π
T
2
r
aZ
=
aZ
=
2π
6 120 s
aZ
=
7.619 m/s2
=
0.78 g
2
7.228 · 106 m
Die Zentripetalbeschleunigung in einer Höhe von 850 km über dem Erdboden ist nur 20% geringer als die
Fallbeschleunigung g.
Aufgabe 30 Seite 43 M
Berechnen Sie, wie schnell sich die Erde drehen müsste, damit am Äquator Fallbeschleunigung und
Zentripetalbeschleunigung gleich groß sind.
Lösung
Angaben:
Siderische Tagesdauer: T = 86 164 s
R = 6378 km
Grenzfall:
FG
mg
= FZ
2
T
= m(ω) r = m
r
r
= 2π
g
= 5 063.1 s
T
=
T
2π
T
2
r
1 h 24 min 23 s
Bei einer Tagesdauer von T = 1 h 24 min 23 s ist der Betrag der Zentripetalkraft gleich der Fallbeschleunigung g.
Aufgabe 31 Seite 43 M
Zur Vorbereitung auf Raumflüge trainieren Raumfahrer in großen Zentrifugen, in denen sie sehr schnell
im Kreis herumgeschleudert werden. Sie sitzen etwa 9 m vom Drehpunkt der Zentrifuge entfernt in einer
Kabine. Berechne Sie die Umdrehungszahl, mit der die Kabine rotieren muss, damit eine Beschleunigung
von 8g (das Achtfache der Fallbeschleunigung auf der Erde) entsteht.
Lösung
Angaben:
r = 4.5 m
aZ = 8 g
Zentripetalbeschleunigung:
aZ = ω 2 r = (2π f )2 r
Umdrehungszahl:
r
f
=
f
=
aZ
=
(2π)2 r
s
8 · 9.81 m/s2
(2π)2 4.5 m
0.665 Hz = 39.9 min−1
9
Aufgabe 32 Seite 43 M
Eine Spielzeugautobahn enthält ein Looping mit 50 cm Durchmesser. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit,
mit der ein Fahrzeug den höchsten Punkt durchfahren muss, um nicht herunterzufallen.
Lösung
Angaben:
r = 0.25 m
Die Zentripetalkraft bewirkt, dass der Wagen eine kreisförmige Bewegung durchführt. Im Grenzfall ist die
notwendige Zentripetalkraft gleich der wirkenden Gewichtskraft.
FZ
v2
m
r
v2
r
=
FG
=
mg
=
g
Soweit u.a. Reibungskräfte vernachlässigt werden können, ist die Bedingung unabhängig von der Masse m
des Wagens.
p
√
v =
gr =
9.81 m/s2 0.25 m
v
=
1.57 m/s = 5.64 km/h
Aufgabe 2 Seite 53 NR
a) Unter welchem Winkel α zur Senkrechten muss sich der
Fahrer bei der Geschwindigkeit v = 36 km/h nach innen legen,
damit die Zentrifugalkraft aufgehoben wird?
b) Wie groß muss dabei die Haftreibungszahl zwischen Radreifen
und Straße mindestens sein, um ein Rutschen zu vermeiden?
Lösung
Angaben:
v = 36 km/h = 10 m/s
r = 30 m
a) Bezugssystem: Radfahrer
Dieser befindet sich im Gleichgewicht unter den wirkenden Kräften F~G (Gewichtskraft), F~F (Fliehkraft)
und F~ (Reaktion des Bodens auf das Fahrrad), also:
F~ + F~F + F~G = ~0
Es gilt unter anderem:
2
tan α
tan α
α
m vr
FF
=
=
FG
mg
2
v
(10 m/s)2
=
=
rg
2 9.81 m/s2
◦
= 18.77
10
Abbildung 3: Links: Kräftegleichgewicht für den fahrenden Radfahrer. Rechts: Die Reibungskraft ist im Gleichgewicht mit der horizontalen Komponente der Kraft F~x0
b) Das Fahrrad übt die Kraft F~ 0 = −F~ auf den Boden aus.
Mit:
FG
cos α =
F0
FG
F0 =
cos α
In horizontaler Richtung gilt außerdem:
Fx0
F0
0
Fx = F 0 sin α
sin α
Fx0 = FG
= FG tan α
cos α
Gleichgewichtsbedingung zwischen der Reibungskraft F~R und der horizontalen Komponente der Kraft F~ 0 :
sin α
=
Fx0
=
FR
FG tan α
=
µFG
µ =
tan α = 0.34
Aufgabe 6 Seite 54 NR
Bei einem Elektromotor liegt der Schwerpunkt des Rotors von der Masse m = 44 kg infolge schlechter Auswuchtung 1 mm außerhalb der Drehachse. Wie groß sind die Bahngeschwindigkeit im Massenschwerpunkt
und die Zentrifugalkraft bei einer Drehfrequenz des Motors von n = 1450 min−1 .
Lösung
Angaben:
m = 44 kg
r = 10−3 m
f = 1450 min−1 = 24.17 Hz
Bahngeschwindigkeit v:
ω
=
v
=
v
r
2 π r f = 0.152 m/s
2πf =
11
Zentrifugalkraft FZ :
v2
r
1014.5 N
F
= m
F
=
Aufgabe 7 Seite 54 NR
Die Schienen der Bundesbahn haben eine Spurbreite von b = 1435 mm. In einer Kurve mit dem Radius
r = 250 m ist die äußere Schiene um h = 125 mm überhöht.
a) Bei welcher Bahngeschwindigkeit steht die Resultierende aus Gewichtskraft und Fliehkraft auf den
Schienen senkrecht?
b) Welche Überhöhung wäre bei doppelter Geschwindigkeit notwendig?
Lösung
Angaben:
b = 1.435 m
h = 0.125 m
r = 250 m
a) Bezugssystem: fahrender Zug
Dieser befindet sich im Gleichgewicht unter den wirkenden Kräften F~G (Gewichtskraft), F~F (Fliehkraft)
und F~ (Reaktion der Schienen auf den Zug), also:
F~ + F~F + F~G = ~0
Abbildung 4: Links: Kräftegleichgewicht für den fahrenden Zug. Rechts: Geometrie der Schienen.
Neigungswinkel der Schienen:
sin α
=
α
=
12
h
b
5◦
Es gilt unter anderem:
2
tan α
tan α
v
v
m vr
FF
=
=
FG
mg
v2
=
rg
p
√
tan α r g =
tan 5◦ 250 m 9.81 m/s2
=
= 14.65 m/s ( = 52.7 km/h)
b) Bei doppelter Geschwindigkeit v 0 = 2v wäre der notwendige Neigungswinkel α0 :
tan α0
=
α0
=
v 02
rg
19.3◦
Überhöhung h0 der Spur:
h0 = b sin α0 = 0.474 m
Aufgabe 8 Seite 54 NR
Ein Auto von der Masse m = 1400 kg und der Spurbreite
b = 1290 mm fährt eine Kurve von r = 60 m Krümmungsradius.
Welche Geschwindigkeit darf das Fahrzeug höchstens haben,
um in der Kurve nicht zu kippen? Der Wagenschwerpunkt liegt
h = 700 mm über der Fahrbahn.
Lösung
Angaben:
m = 1400 kg
b = 1290 mm
r = 60 m
h = 700 mm
Nicht kippen bedeutet für den Wagen, dass dessen Schwerpunkt nicht jenseits der Basis liegen darf.
tan α
=
α
=
b/2
h
42.66◦
Bezugssystem: fahrender Wagen
Gleichgewichtsbedingung für den Wagen:
F~ + F~F + F~G = ~0
Es gilt unter anderem:
2
tan α
b
2h
v
v
m vr
FF
=
FG
mg
v2
=
rg
r
brg
=
2h
= 23.29 m/s ( = 83.8 km/h)
=
13
(2)
3
Impuls - Impulserhaltung
Aufgabe 3 Seite 55 NR
Ein Fahrzeug der Masse m = 7.5 t soll innerhalb eines Zeitintervalls von 8 s seine Geschwindigkeit um
6 m/s erhöhen. Welche konstante antreibende Kraft F ist erforderlich?
Lösung
Angaben:
m = 7500 kg
∆t = 8 s
∆v = 6 m/s
Notwendige Kraft:
F
=
F
=
∆p
7500 kg 6 m/s
=
∆t
8s
5625 N
Aufgabe 6 Seite 55 NR
Eine Person von der Masse m1 = 75 kg springt mit der Geschwindigkeit u1 = 4 m/s in einen ruhenden
Kahn von der Masse m2 = 100 kg. Mit welcher Geschwindigkeit v treibt nun der Kahn vom Ufer ab?
Lösung
Angaben:
m1 = 75 kg
u1 = 6 m/s
m2 = 100 kg
u2 = 0 m/s
Impulserhaltung:
p~V orher
m1 u1
v
v
= p~N achher
=
(m1 + m2 ) v
75 kg
m1
=
v =
6 m/s
m1 + m2
75 kg + 100 kg
= 2.57 m/s
Aufgabe 7 Seite 55 NR
Bei einem Versuch zur Ermittlung der Geschossgeschwindigkeit dringt das Geschoss von der Masse
m1 = 10 g mit der Geschwindigkeit v1 in den zunächst ruhenden Pendelkörper der Masse m2 = 4 kg. Durch
den vom Geschoss ausgeübten Kraftstoß werden Geschoss und Pendelkörper um die Höhe h = 200 mm
gehoben.
a) Geben Sie eine beschriftete Skizze an von der Situation vor- und nach dem Zusammenstoß. Stellen Sie
die Impulsgleichung auf.
b) Welche potentielle Energie haben Geschoss und Pendelkörper in der höchsten Lage erhalten?
14
c) Ermitteln Sie mit Hilfe der Energiegleichung die gemeinsame Geschwindigkeit v2 und damit die
Geschossgeschwindigkeit v1 .
Lösung
Angaben:
m1 = 0.010 kg
m2 = 4 kg
h = 0.200 m
Vergleiche mit Lösung aus dem Unterricht.
Aufgabe 8 Seite 55 NR
Eine Rakete von der Gewichtskraft FG = 80 000 N soll senkrecht gestartet werden. Die Ausströmgeschwindigkeit
der Verbrennungsgase beträgt v = 1 500 m/s. Welche Treibstoffmasse m muss beim Start in einer Sekunde
ausströmen, damit Rakete vom Boden abhebt?
Lösung
Angaben:
FG = 80 000 N
v = 1 500 kg
Damit die Rakete abheben kann, muss die Kraft F~ , die die ausströmenden Gase auf die Rakete ausüben,
mindestens so groß wie die Gewichtskraft F~G der Rakete sein.
F ≤ FG
Im Grenzfall gilt:
∆v
∆t
F ∆t
80 000 N 1 s
m =
=
∆v
1500 m/s
m = 53.3 kg
FG
=
F = m
Um die angegebenen Bedingungen zu erfüllen, müssen mindestens 53.3 kg Gase pro Sekunde ausgestoßen
werden. Diese Masse entspricht einer Gewichtskraft von etwa 523 N . Das heißt also, dass die Rakete nach
der ersten Sekunde Brenndauer um 523 N leichter ist - dies entspricht etwa 0.65% der Anfangsmasse.
Nach einer Minute ist die Rakete bereits um 39% gegenüber der Anfangsmasse leichter.
Aufgabe 4 Seite 56 NR
Ein Güterwagen von m1 = 20 t fährt mit der Geschwindigkeit u1 = 36 km/h auf einen ruhenden Wagen
der gleichen Masse.
a) Es findet ein elastischer Stoß statt. Berechnen Sie die Geschwindigkeiten beider Wagen nach dem
Zusammenstoß.
b) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Wagen, wenn der Stoß vollständig unelastisch ist?
Lösung
Angaben:
m1 = 20 t m2 = m1 = 20 t
u1 = 10 m/s u2 = 0 m/s
Impulserhaltung (mit m1 = m2 ):
p~V orher
m1 u1
= p~N achher
= −m1 v1 + m2 v2
u1
= −v1 + v2
v2
= u1 + v1
15
| : m1
Erhaltung der kinetischen Energie:
EV orher
1
m1 u21
2
u21
= EN achher
1
1
=
m1 v12 + m2 u22
2
2
= v12 + v22
u21
= v12 + (u1 + v1 )2
| {z }
u21
= v12 + u21 + 2u1 v1 + v12
2u1 v1 + 2v1
=
0
2v1 (u1 + v1 )
=
0
1
| : ( m)
2
Erste Möglichkeit:
v1 = 0
dann gilt:
v2 = u1 + v1 = u1 = 36 km/h
Stoßen zwei Körper gleicher Masse elastisch und zentral aufeinander, so wird die Energie und der Impuls
vom ersten Körper vollständig auf den Zweiten übertragen. Das heißt, nach dem Zusammenstoß bleibt
der erste Körper in Ruhe, während der zweite Körper die gleiche Geschwindigkeit annimmt, als der erste
Körper vor dem Stoß hatte.
Zweite Möglichkeit:
u1 + v1
=
0
v1
=
−u1 = −36 km/h
dann gilt:
v2 = u1 + v1 = 36 km/ − 36 km/h = 0 km/h
In diesem Fall würde der zweite Wagen durch den Zusammenstoß nicht beeinflußt; der erste Wagen
würde sich ungehindert ’durch’ den zweiten Wagen hindurchbewegen. Dies entspricht keiner physikalisch
sinnvollen Beschreibung materieller Teilchen (Wagen).
Aufgabe 4 Seite 56 NR
Die Pendelkugel (1) von m1 = 100 g wird in einer Höhe von h1 = 10 cm losgelassen und trifft in A
elastisch auf die ruhende Pendelkugel (2) von der Masse m2 = 50 g.
a) Bestimmen Sie die kinetische Energie und Geschwindigkeit der Kugel (1) in A.
b) Welche Höhe h2 erreicht die Kugel (2) nach dem Stoß?
c) Welches Verhalten würden Kugel (1) und Kugel (2) bei gleicher Masse zeigen?
Lösung
Angaben:
m1 = 100 g
m2 = 50 g
h1 = 10 cm
16
3.1
Aufgabe - Das Newton-Pendel
Das Newton-Pendel besteht aus mehreren Kugeln gleicher Masse,
die in einer Reihe und in gleicher Höhe aufgehängt sind. Wenn
man eine Kugel angehebt und gegen die anderen schwingen lässt
so stellt man fest, dass nur eine Kugel auf der gegenüberliegenden
Seite abgestoßen wird. Prallen zwei Kugeln auf die Kugelreihe, so
werden auf der gegenüberliegenden Seite ebenfalls zwei Kugeln
abgestoßen.
Beweise diese Beobachtung!
Lösung
Folgende Annahmen werden genommen: Eine Anzahl von a Kugeln (a ∈ N) treffen auf die Kugel-Reihe.
Nach dem Zusammenstoß werden auf der gegenüberliegenden Seite die Anzahl b (b ∈ N) an Kugeln
abgestoßen. Es gilt zu beweisen, dass a = b ist.
Impulserhaltung:
p~V orher
= p~N achher
(a · m)u =
(b · m)v
|:m
a·u = b·v
Energieerhaltung:
EV orher
1
(a · m)u2
2
a u2
Laut Impulserhaltung gilt: v =
a
b
= EN achher
1
=
(b · m)v 2
2
= b v2
1
| : ( m)
2
u
a u2
=
1
=
a
=
b
a
b
b
a2 2
u
b2
Über die Impuls- und Energieerhaltung kann also bewiesen werden, dass die Anzahl der abgestoßenen
Kugeln immer gleich der eintreffenden Kugeln ist.
Für a = b, kann dann auch gleich bewiesen werden, dass:
au
= bv
= av
u = v
|:a
(3)
Die Geschwindigkeit der abgestoßenen Kugeln v ist gleich der Geschwindigkeit der eintreffenden Kugeln u.
17
4
Die harmonische Schwingung
Aufgabe 4 Seite 84 NR
Bei einem Versuch wird eine Zugfeder in Schwingung versetzt. Für 8 Schwingungen aus der Nulllage misst
man bei einer Amplitude von 3 cm eine Zeit von 5 Sekunden.
a) Ermitteln Sie die Zeit T für eine Schwingung und die Frequenz f .
b) Zeichnen Sie den Schwingungsvorgang.
c) Welchen Abstand y aus der Nulllage hat die Feder nach t = 1 s?
d) Nach welcher Zeit t ist die maximale Auslenkung ymax = 3 cm erreicht?
Lösung
Angaben: ymax = 3 cm
a) Schwingungsdauer: T = nt = 85 s = 0.625 s
Frequenz: f = T1 = 85 Hz
b) t − y(t)-Diagramm
c) Es wird angenommen, dass die Anfangsphase φ0 gleich Null ist. Gleichung der harmonische Schwingung:
y(t)
= ymax sin(2πf t)
16
= 3 sin( πt)
5
Falls t = 0 s:
y(1s) = 3 sin(
16
π) = −1.76 cm
5
d)Bedingung: y = 3 cm = ymax
16
πt) =
5
16
sin( πt) =
5
16
πt =
5
3 sin(
t =
3
1
π
+ k 2π
2
5
5
+ k
32 8
Für den ersten Durchgang (k = 0) gilt:
t=
5
s = 0.156 s
32
Aufgabe 5 Seite 84 NR
Eine harmonische Schwingung hat die Frequenz f = 5 Hz und die Amplitude ymax = 6 cm.
a) Berechnen Sie die Periodendauer und die Kreisfrequenz.
b) Wie lautet die Schwingungsgleichung?
c) Nach welcher Zeit ist der Ausschlag y = 3 cm?
Lösung
Angaben:
f = 5 Hz
ymax = 6 cm
a) Periodendauer: T = f1 = 15 s
−1
Kreisfrequenz: ω = 2π
T = 10π s
b) Harmonische Schwingungsgleichung (φ0 = 0):
y(t)
=
ymax sin(ωt + φ0 )
y(t)
=
6 sin(10πt)
18
c) Gesuchter Zeitpunkt t:
6 sin(10πt)
=
sin(10πt)
=
3
0.5
(
0.5236 + k 2π
10πt =
π − 0.5236 + k 2π
(
0.0167 + 15 k
t =
0.0833 + 15 k
Frühester (positiver) Zeitpunkt (k = 0): t = 0.0167 s
Aufgabe 6 Seite 84 NR
Bei einer Blattfeder beobachtet man eine Periodendauer von 0.4 Sekunden. Die Geschwindigkeit der schwingenden Masse beim Durchgang durch die Nulllage beträgt vmax = 0.628 m/s. Welche Schwingungsweite
(Amplitude) liegt vor?
Lösung
Angaben: T = 0.4 s
vmax = 0.628 m/s
Es gilt:
y(t)
= ymax sin(ωt + φ0 )
v(t)
= y 0 (t)
= ymax ω cos(ωt + φ0 )
| {z }
=vmax
Somit gilt:
vmax
= ymax ω = ymax
ymax
=
ymax
=
2π
T
vmax T
2π
0.04 m
Aufgabe 9 Seite 85 NR
Eine belastete Schraubenfeder führt harmonische Schwingungen aus. Die Amplitude beträgt ymax = 2.5 cm,
die Geschwindigkeit vmax = 0.5 m/s. Ermitteln Sie die Periodendauer T und die Frequenz f .
Lösung
Angaben: ymax = 2.5 cm
vmax = 0.5 m
Herleitung der Gleichung: siehe vorhergehende Aufgabe.
T =
2πymax
= 0.314 s
vmax
19
Aufgabe 5 Seite 87 NR
Ein Fadenpendel von der Länge l = 2 m wird auf die Länge l0 = 1 m verkürzt. In welchem Verhältnis
ändern sich die Schwingungszeiten?
Lösung
Angaben: l = 2 m
l0 = 1 m
Schwingungsgleichung beider Pendel:
s
T = 2π
s
l
g
0
T = 2π
l0
g
Verhältnis der Schwingungsdauern:
T
T0
=
=
Somit gilt: T =
√
q
r
2π gl
l
q /=/ 0
l0
l
2π g
√
2
2 T 0 ; die Schwingungszeiten ändern sich um den Faktor
√
2.
Aufgabe 6 Seite 87 NR
Man möchte ein Fadenpendel herstellen, das in einer Sekunde genau eine Halbschwingung ausführt
(Sekundenpendel). Welche Länge l müsste das Pendel am Äquator (g = 9.78 m/s2 ) und am Pol (g =
9.83 m/s2 ) haben?
Lösung
Angaben: gA = 9.78 m/s2
gP = 9.83 m/s2
Schwingungsgleichung beider Pendel:
s
T = 2π
l
g
also:
l=
T2
g
4π 2
Notwendige Pendellänge:
am Äquator:
lA =
am Pol: lP =
(2 s)2
4π 2
(2 s)2
4π 2
9.78m/s2 = 0.9909 m
9.83m/s2 = 0.9960 m
Aus dieser Aufgabe ist ersichtlich, dass die Fallbeschleunigung an einem Ort über das Pendelgesetz
bestimmt werden kann. Zusätzlich sieht man, dass die Pendellänge am Pol um etwa 5 mm länger sein
muss, als am Äquator. Mit etwas Sorgfalt ist also der Unterschied in der Fallbeschleunigung an beider
Orten auf der Erde durchaus messbar.
Aufgabe 10 Seite 87 NR
Ein Federpendel ist mit einer schwingenden Masse von m = 0.2 kg belastet. Die Federkonstante beträgt
D = 2 N/m.
a) Ermitteln Sie die Periodendauer T .
b) Wie verändert sich die Periodendauer, wenn die schwingende Masse verdoppelt wird?
Lösung
Angaben: m = 0.2 kg
D = 2 N/m
20
a) Schwingungsdauer des Federpendels:
r
T = 2π
m
= 2π
D
s
0.2 kg
= 1.987 s
2 N/m
b) Falls m0 = 2 m (D0 = D), dann gilt:
r
0
T = 2π
m0
= 2π
D
r
2m √
= 2T
D
Wird die Masse am Federpendel verdoppelt, so vergrössert sich die Schwingungsdauer um den Faktor
√
2.
Aufgabe 13 Seite 87 NR
Bei einer Feder ist eine Arbeit von W = 0.2 N m erforderlich, um eine Dehnung von y = 10 cm zu erreichen.
Wie gross ist die Periodendauer des Federpendels, wenn eine Masse von m = 1000 g angehängt wird?
Lösung
Angaben: W = 0.2 J
y = 0.1 m
m = 1 kg
Spannarbeit an der Feder:
W =
1
D y2
2
D
=
D
=
2W
y2
20.2 J
N
= 40
(0.1 m)2
m
Schwingungsdauer des Federpendels:
r
T = 2π
m
= 2π
D
s
1 kg
= 0.993 s
40 N/m
21
5
Die Wellengleichung
Aufgabe 1 Seite 125 M old
Während 12 Schwingungen innerhalb von 3 Sekunden ablaufen, breitet sich eine Störung um 3.6 m aus.
Berechne Wellenlänge, Frequenz und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.
Lösung
Angaben: ∆t = 3 s
n = 12
x = 3.6 m
Schwingungsdauer T :
T =
∆t
3s
1
=
= s
n
12
4
Frequenz f :
f=
1
= 4 Hz
T
Wellenlänge λ:
λ=
3.6 m
x
=
= 0.3 m
n
12
Ausbreitungsgeschwindigkeit c:
c=f λ=4
m
1
· 0.3 m = 1.2
s
s
Aufgabe 3 Seite 127 M old
Eine Schwingung y(t) = ȳ sin ωt, mit ȳ = 10 cm, ω = π2 s−1 breitet sich transversal von x = 0 längs der
x-Achse mit der Geschwindigkeit vP h = 7.5 mm/s aus.
a) Stelle die Wellengleichung auf.
b) Zeichne das Momentanbild der Störung nach t1 = 4 s und nach t2 = 6 s auf.
c) Ermittle die Schwingungsgleichung für die Oszillatoren, die an den Orten x1 = 5.25 cm bzw. x2 = 7.5 cm
von der Störung erfasst werden.
Lösung
Angaben: ȳ = 10 cm = 100 mm
ω=
π 1
2 s
c = 7.5
mm
s
a) Frequenz f :
f=
ω
1
= Hz
2π
4
Schwingungsdauer T :
T =
Wellenlänge λ:
λ=
1
=4s
f
c
= 30 mm
f
Wellengleichung (verwendete Einheiten: [t] = s und [x] = mm):
x
t
y(x, t) = ȳ sin 2π
−
T
λ
t
x
y(x, t) = 100 sin 2π
−
4 30
t
x
y(x, t) = 100 sin π
−
2 15
22
b) Wellengleichung zum Zeitpunkt t = 4 s:
y(x, 4)
=
y(x, 4)
=
4
x
100 sin π − π
2
15
π x
100 sin 2π −
|
{z 15 }
sin(2π−α)=sin(−α)
y(x, 4)
=
100
π x
sin −
|
{z 15 }
sin(−α)=− sin(α)
y(x, 4)
=
−100 sin
π x
15
c) Schwingungsgleichung am Ort x = 5.25 cm = 52.5 mm:
x
t
y(x, t) = ȳ sin 2π
−
T
λ
t
52.5
2t 105
y(52.5, t) = 100 sin 2π
−
= 100 sin π
−
4
30
4
30
πt 7π
= 100 sin
−
2
2
πt
πt
π
π
= 100 sin
−2π −π −
= 100 sin
−π −
2 |{z}
2
2 |{z} 2
πt π
= −100 sin
−
2
2
πt
y(52.5, t) = −100 cos
2
23
Aufgabe 14 Seite 92 NR
Bei einer Welle mit ȳ = 0.2 m, T = 0.5 s und λ = 1.5 m ist die Elongation y im Abstand x = 1 m zur
Zeit t = 2/3 s gesucht.
Lösung
Angaben: ȳ = 0.2 m
2
10
s
Wellengleichung zum Zeitpunkt t =
2
3
T =
y(x, t)
2
y(1, )
3
2
y(1, )
3
2
y(1, )
3
2
y(1, )
3
=
=
=
=
=
f=
1
T
= 5 Hz
s am Ort x = 1 m (verwendete Einheiten: [t] = s und [x] = m):
t
x
ȳ sin 2π
−
T
λ
2 10
2
10 2
0.2 sin 2π
−1
= 0.2 sin 2π
−
3 2
3
3
3
16 π
4π
0.2 sin
= 0.2 sin 4π +
3
3
4π
π
0.2 sin
= −0.2 sin
3
3
√
3
−0.2
= −0.173 m
2
Aufgabe 14 Seite 92 NR
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle mit der Amplitude ȳ = 0.2 m und der Frequenz f = 0.2 Hz
beträgt in einem Medium c = 20 m/s.
a) Bestimme die Wellenlänge.
b) Nach welcher Zeit beginnt ein Teilchen im Abstand x = 40 m vom Erregungsort zu schwingen?
c) Wie gross ist die Auslenkung dieses Teilchens nach t = 5 s?
Lösung
Angaben: ȳ = 0.2 m
f=
1
T
= 0.2 Hz
T =5s
a) Wellenlänge λ:
λ=
c = 20
c
= 100 m
f
b) Zeitdauer um die Strecke x zurückzulegen:
t=
x
40 m
=
=2s
c
20 m/s
c) Wellengleichung (verwendete Einheiten: [t] = s und [x] = m):
t
x
y(x, t) = ȳ sin 2π
−
T
λ
t
x
y(x, t) = 0.2 sin 2π
−
5 100
2t
x
y(x, t) = 0.2 sin π
−
5
50
24
m
s
x = 40 m
Auslenkung zum Zeitpunkt t = 5 s am Ort x = 40 m:
y(40, 5)
=
y(40, 5)
=
y(40, 5)
=
y(40, 5)
=
y(40, 5)
=
y(40, 5)
=
2 · 5 40
0.2 sin π
−
10
50
40
0.2 sin π 1 −
50
4π
0.2 sin π −
5
4π
0.2 sin −
5
4π
−0.2 sin
5
−0.118 m
(4)
Aufgabe 1 Seite 127 M old
Zeige an der Wellengleichung, dass sich für t und t+T beziehungsweise für x+λ gleiche Schwingungszustände
ergeben.
Lösung
Wellengleichung zum Zeitpunkt t:
y(x, t) = ȳ sin 2π
x
t
−
T
λ
Wellengleichung zum Zeitpunkt t0 = t + T :
y(x, t0 )
t0
x
−
T
λ
t+T
x
= ȳ sin 2π
−
T
λ
t
x
= ȳ sin 2π
+1−
T
λ
t
x
= ȳ sin 2π
−
+ 2π
T
λ
|
{z
}
= ȳ sin 2π
sin(α+2π)=sin(α)
= ȳ sin 2π
y(x, t + T )
t
x
−
T
λ
= y(x, t)
Gleiche Vorgehensweise für x0 = x + λ.
Aufgabe 2 Seite 127 M old
Weise nach, dass sich aus der Wellengleichung die Phasengeschwindigkeit, mit der sich ein Schwingungszustand bewegt, zu vP h = Tλ ergibt.
25
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