Übungsblatt 7

Elektrodynamik
Sommersemester 2016
Aufgabenblatt 7
Abgabetermin: Freitag 03.06.2016 um 12.00 Uhr
ED 7.1: Betrachten Sie die Lagrangedichte L(φ, ∂µ φ) einer skalaren Feldtheorie und leiten Sie aus dem Wirkungsprinzip eine (funktionale) Differentialgleichung für L her. Nutzen Sie dabei Ihr Wissen aus Aufgabe 6.1,
insbesondere soll gefordert werden, dass kleine Variationen δφ(x) am
Rand des Integrationsbereichs verschwinden.
Bemerkung: Es handelt sich um die Euler-Lagrange-Gleichung einer Skalarfeldtheorie.
ED 7.2: Betrachten Sie die Lagrange-Dichte eines Skalarfeldes φ(x) mit externer Quelle J(x),
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L = − (∂µ φ) (∂ µ φ) − m2 φ2 + Jφ ,
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sowie folgenden Lorentz-kovarianten Tensor:
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T µν = (∂ µ φ) (∂ ν φ) − η µν (∂α φ) (∂ α φ) + m2 φ2 .
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(a) Leiten Sie mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichung aus Aufg. 1 die
Bewegungsgleichung für φ her.
(b) Zeigen Sie, dass T 00 ≥ 0 ist. Interpretieren Sie den Term physikalisch.
(c) Zeigen Sie, dass im Vakuum (also für J = 0) ∂µ T µν = 0 gilt und
geben Sie die daraus resultierende Interpretation des Vektors S i :=
T 0i an.
(d) Betrachten Sie ein konstantes Volumen V ⊂ R3 mit Rand ∂V und
zugehörigem Normalenvektor n̂. Auf ∂V sei n̂i S i = 0. Geben Sie
die daraus resultierende Erhaltungsgröße und deren physikalische
Interpretation an.
(e) Bestimmen Sie φ(x) für die (Punkt-)Quelle J = 4πQδ (3) (x), (Q =
const.). Machen Sie hierfür den Ansatz φ = Crα exp(βr) mit r =
|x| und bestimmen Sie die Konstanten α, β unter Ausnutzung der
Bewegungsgleichung für r 6= 0, sowie geeigneter Abfallbedingungen
für φ. Integrieren Sie die Bewegungsgleichung über eine kleine Kugel, die die Punktquelle einschließt, um C zu bestimmen.
(f) Betrachten Sie n (statische) Kopien der Quelle aus (e), die an den
Orten xi platziert sind. Nutzen Sie die Linearität der Bewegungsgleichung, um die Lösung abzuleiten.
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(g) Übertragen Sie die Überlegungen aus (f) auf eine kontinuierliche
Quelle J mit kompakten Träger, um die allgemeine statische Lösung
zu finden. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch Einsetzen in die Bewegungsgleichung.
Hinweis:
Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten lautet:
1
∂
∂F
1
∂ 2F
1 ∂
2 ∂F
r
+ 2
sin θ
+ 2 2
∆F = 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ2
(Können Sie diesen Ausdruck auch selbst ableiten?)
ED 7.3: Ideen zur offenen Diskussion während der Tutorien:
(a) Betrachten Sie eine schwingende Membran und finden Sie eine adäquate
physikalische Beschreibung.
(b) Diskutieren Sie den Ursprung und die Bedeutung des Extremalprinzips.
Z 7.1: (Zur Bearbeitung in der Zentralübung.)
In der Vorlesung wurde die Hamilton-Dichte der Maxwell-Theorie hergeleitet. Wiederholen Sie die Herleitung für die Skalarfeldtheorie aus Aufg.
2 und beweisen sie somit die in Teilaufgabe (b) aufgestellte These über
dessen Interpretation.
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