T2 Quantenmechanik, Lösungen - Fakultät für Physik

T2 Quantenmechanik
Lösungen
LMU München, WS 16/17
Prof. D. Lüst / Dr. A. Schmidt-May
version: 28. 01.
NAME:
MATRIKEL-NR:
Aufgabe
1
2
3
4
5
Summe
max. Punkte
8
9
4
5
8
34
erreichte Punkte
Information:
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Ihnen Zwischenergebnisse oder benötigte Relationen fehlen.
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VIEL ERFOLG!
1.1
Aufgabe 1
a) Welche Eigenschaft besitzen die Eigenwerte von selbstadjungierten Operatoren?
(1 Punkt)
Lösung: Sie sind reell.
b) Welche Gleichung erfüllt ein unitärer Operator? Wie können sie aus einem selbstadjungierten Operator Â einen unitären Operator konstruieren? (2 Punkte)
Lösung:
Û † = Û −1
Û † Û = 1
oder
(1.S1)
(1 Punkt)
Û = eiÂ
(1.S2)
(1 Punkt)
c) Wie lautet die Vertauschungsrelation für die Komponenten L̂i des Drehimpuls~ ? (1 Punkt)
Operators L
Lösung:
[Li , Lj ] = i~ijk Lk
(1.S3)
d) Sie möchten zwei Observablen simultan exakt messen. Welche Eigenschaft müssen
die dazugehörigen selbstadjungierten Operatoren besitzen, damit dies möglich ist?
(1 Punkt)
Lösung: Sie müssen miteinander vertauschen.
e) Ein Teilchen sei beschrieben durch eine eindimensionale, normierte Wellenfuktion
ψ(t, x). Mit welcher Wahrscheinlichkeit p(t) trifft man das Teilchen auf der positiven
x-Achse an? (1 Punkt)
Lösung:
Z
∞
p(t) =
dx |ψ(t, x)|2
(1.S4)
0
f ) Sei |ψi ein normierter Zustand. Was ist die Spur des Operators |ψi hψ|? Begründen
Sie ihre Antwort. (2 Punkte)
Lösung: Die Spur ist 1. (1 Punkt)
Als Begründung entweder das Stichwort Dichtematrix angeben oder ausrechnen:
X
X
hn|ψi hψ|ni =
|cn |2 = 1
n
mit ψ =
P
n cn
n
|ni (1 Punkt)
1.2
(1.S5)
Aufgabe 2
Ein Teilchen im unendlich tiefen Potenzialtopf gegeben durch
(
0
für 0 ≤ x ≤ a
V (x) =
∞
sonst
(1.1)
sei zur Zeit t = 0 beschrieben durch die Wellenfunktion
Ψ (x) = N ψ1 (x) + ψ3 (x)
(1.2)
Hierin sind die ψn die Eigenfunktionen des zugehörigen Hamilton-Operators
r
nπx 2
sin
ψn =
a
a
(1.3)
und die Energieeigenwerte sind
En = n2 ~ω
mit ω ≡
π2~
2ma2
(1.4)
a) Bestimmen Sie N , indem Sie Ψ (x) normieren. (2 Punkte)
Lösung: Es ist
Z
a
2
dx |Ψ (x)| = |N |
2
a
Z
0
dx ψ1∗ (x) + ψ3∗ (x) ψ1 (x) + ψ3 (x)
(1.S6)
dx ψn∗ ψm = δmn
(1.S7)
0
Wir benutzen
Z
a
0
und erhalten
Z
a
dx |Ψ (x)|2 = 2|N |2
(1 Punkt)
(1.S8)
0
Um dies gleich eins zu setzen, wählen wir
1
N=√
2
(1 Punkt)
(1.S9)
b) Wie lauten die zeitabhängige Wellenfunktion Ψ (t, x) und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ (t, x)|2 ? (4 Punkte)
Lösung: Es ist
ψn (t, x) = e−iEn t/~ ψn (x) = e−in
2
ωt
ψn (x)
(1 Punkt)
(1.S10)
und somit
1 Ψ (t, x) = √ e−iE1 t/~ ψ1 (x) + e−iE3 t/~ ψ3 (x)
2
1 −iωt
=√ e
ψ1 (x) + e−9iωt ψ3 (x)
2
r
r
πx 1
1
3πx
−iωt
−9iωt
=e
sin
+e
sin
a
a
a
a
1.3
(1.S11)
(1.S12)
(1 Punkt)
(1.S13)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist
r
r
2
πx 1
1
3πx
|Ψ (t, x)|2 = e−iωt
+ e−9iωt
sin
sin
a
a
a
a πx 1
3πx
3πx
2
2 πx
=
+ sin
sin
sin
+ 2 sin
cos(8ωt)
a
a
a
a
a
(1.S14)
(2 Punkte)
(1.S15)
Die Kombination von (e8iωt + e−8iωt )/2 in cos(8ωt) ist hier wichtig, damit der Ausdruck eine manifest reelle
Form annimmt. Wenn nicht manifest reell, 1 Punkt Abzug.
c) Welche Werte können Sie bei einer Messung der Energie des Teilchens erhalten?
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten erhalten Sie die jeweiligen Werte? Bestimmen Sie
hĤi. (3 Punkte)
Lösung: Die möglichen Energierwerte sind E1 und E3 (1 Punkt), beide mit Wahrscheinlichkeit 1/2 (1 Punkt).
2 2
~
Deswegen ist hĤi = 21 (E1 + E3 ) = 5π
2ma2 , also gerade der Mittelwert von E1 und E3 . (1 Punkt)
Aufgabe 3
Betrachten Sie den halben harmonischen Oszillator mit Potenzial
(
1
mω 2 x2
für x ≥ 0
V (x) = 2
∞
sonst
(1.5)
Bestimmen Sie die erlaubten Energien. Wie lautet die Grundzustandsenergie?
(4 Punkte)
Hinweis: Diese Aufgabe erfordert keine Rechung.
Lösung: Die SGL hat für x > 0 dieselbe Form wie im Falle des gewöhnlichen harmonischen Oszillators.
(1 Punkt)
Die erlaubten Energieeigenwerte bleiben also im Prinzip unverändert. (1 Punkt)
Nun gibt es aber die zusätzliche Randbedingung ψ(0) = 0. Diese eliminiert alle geraden Lösungen (das sind
jene mit geradem n). Es bleiben
En = ~ω(n + 1/2)
n = 1, 3, 5, 7, . . .
(1.S16)
(1 Punkt)
Der Grundzustand hat nun also den Energieeigenwert E1 =
3
2
~ω. (1 Punkt)
Aufgabe 4
Die Pauli’schen Spinmatrizen lauten
0 1
0 −i
σ̂1 =
σ̂2 =
1 0
i 0
σ̂3 =
1 0
0 −1
und die Komponenten des dazugehörigen Spin-Operators sind Ŝi =
1.4
~
2
σ̂i .
(1.6)
a) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von Ŝ2 . Drücken Sie die Eigenvektoren von Ŝ2 als Linearkombination der Eigenvektoren von Ŝ3 aus. (3 Punkte)
Lösung: Die charakteristische Gleichung
0 = det(σ̂2 − λ1) = λ2 − 1
hat die Lösungen λ = ±1. Die Eigenwerte von Ŝ2 sind also λ = ±~/2. (1 Punkt)
Die Eigenvektoren sind dann die Lösungen der Gleichung Ŝ2 v = λv, nämlich
1 1
1
i
√
√
und
2 i
2 1
wobei wir die Eigenvektoren auf v 2 = 1 normiert haben. (1 Punkt)
Die Linearkombinationen lauten
1 1
i
1
i
1 0
1 1
0
i
1
√
√
=√
+√
und
=√
+√
2 i
2 0
2 1
2 1
2 0
2 1
(1.S17)
(1.S18)
(1.S19)
(1 Punkt)
b) Ein Teilchen befinde sich im Zustand |S3 = +~/2i. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Messen von S2 die in Teil a) bestimmten möglichen Messwerte zu
erhalten? (1 Punkt)
Lösung: Die Wahrscheinlichkeiten sind 1/2 für +~/2 und 1/2 für −~/2.
c) Kann man ein Elektron (das den Spin 1/2 besitzt) so präparieren, dass S2 und S3
zugleich scharfe Werte besitzen? Begründen Sie kurz Ihre Antwort. (1 Punkt)
Lösung: Nein, denn Sy und Sz kommutieren nicht.
Aufgabe 5
Ein Teilchen der Masse µ bewegt sich im Potenzial des dreidimensionalen harmonischen
Oszillators. Der Hamilton-Operator lautet
Ĥ = −
~2 2 µω 2 2
∇ +
~x
2µ
2
(1.7)
a) Welche Symmetrien weist dieser Hamilton-Operator auf und warum? (1 Punkt)
Lösung: Kugelsymmetrie, weil das Potential nur von r und nicht von den Winkeln abhängt
b) Schreiben Sie die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in geeignete, an diese Symmetrien angepasste Koordinaten um. Wie lautet der Separationsansatz für die Wellenfunktion in diesen Koordinaten? (3 Punkte)
∂2
2 ∂
Hinweis: Die radialen Ableitungen im Laplace-Operator ∇2 sind ∂r
2 + r ∂r .
Lösung: Kugelkoordinaten:
−
~ 2 i µω 2
~2 h ∂ 2
2 ∂
L
ψ
+
ψ
−
ψ +
r2 ψ = Eψ
2m ∂r2
r ∂r
~2 r 2
2
(1.S20)
(2 Punkte)
Hier gibt es den Punkt für die richtige Idee (Kugelkoordinaten) und einen Punkt für den richtigen
Ausdruck (modulo Vorzeichen, etc.). Der Winkelanteil muss nicht ausgeschrieben sein.
Der Separationsansatz ist ψ(~x) = R(r)Ylm (θ, φ). (1 Punkt)
1.5
c) Der Grundzustand ist durch die Wellenfunktion
ψ0 (~x) =
1
a3/2 π 3/4
s
2
~x exp − 2
2a
mit a =
~
µω
(1.8)
gegeben. Schreiben Sie diese Wellenfunktion in geeignete Koordinaten um. Welche
~ 2 und Lz können sich bei der Messung dieser Größen an einem Teilchen,
Werte für L
das in diesem Zustand präpariert wurde, ergeben? Begründen Sie Ihre Antwort.
(4 Punkte)
Lösung: Kugelkoordinaten:
ψ0 (x) =
r2 1
exp
−
2a2
a3/2 π 3/4
(1 Punkt)
(1.S21)
Die Wellenfunktion ist winkelunabhängig und deswegen proportional zu Y00 (1 Punkt). Die möglichen
~ 2 = ~2 l(l + 1) = 0 (1 Punkt) und Lz = 0 (1 Punkt).
Werte sind deshalb L
1.6

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