Höhere Mathematik 3

Dr. F. Gaspoz,
Dr. T. Jentsch,
Dr. A. Langer,
J. Neusser, J. Schmid
Höhere Mathematik 3
1. Vortragsübung zur Vorlesung
Prof. Dr. N. Knarr
Winter 2015/16
Die Aufgaben werden in folgenden Vortragsübungen besprochen:
am Freitag,
den 23.10.2015, 07:45-09:15, M 17.01 für geod, mach, medtech, uwt, verf,
am Dienstag, den 27.10.2015, 09:45-11:15, V 53.01 für bau, ernen, fmt, tema, verk.
Aufgabe V 1. Satz von Green
Gegeben ist das Vektorfeld
v : R2 ! R2 , (x, y) 7! x cos x + y 2 , sin y .
R
Berechnen Sie das Kurvenintegral K v(s) ds der Kurve mit der Parameterisierung
C : [0, 2⇡] ! R2 mit
(
(cos(t), sin(t)) 0 5 t < ⇡
C(t) =
( 2t
3, 0)
⇡ 5 t 5 2⇡
⇡
(a) direkt nach der Definition,
(b) mit Hilfe des Satzes von Green.
Aufgabe V 2. Torus
Wir betrachten für r, R 2 R , 0 < r < R die Kreisscheibe
K = {(x, y) 2 R2 : x2 + (y
R)2 5 r2 }.
Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers der durch Rotation von K um die x-Achse
entsteht.
Aufgabe V 3.
2. Guldinsche Regel
(a) Leiten Sie die zweite Guldinsche Regel unter der Annahme, dass die Fläche nicht über die
Drehachse hinausragt, her:
Das Volumen eines homogenen Rotationskörpers ist das Produkt des Flächeninhalts der
”
erzeugenden Fläche mit der Länge des Wegs des Schwerpunkts bei Drehung.“
(b) Bestimmen Sie das Volumen, das bei Rotation der Menge
A = {(x, y) 2 R2 : |x| 5 ⇡, cos x + 2 5 y 5 sin x + 4}
um die x-Achse entsteht, mit Hilfe der 2. Guldinschen Regel.
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Knarr/

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