Vortragsübung 3 - Universität Stuttgart

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Seite 1 von 2
Datum: 22. April 2016
Analysis 2 (SS 2016) — Vortragsübung 3
3.1. Die Anziehungskraft F (R) der Erde auf einen punktförmigen Körper K der Masse m ist umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes R > 0 zum Erdmittelpunkt und erfüllt
F (R) =
C
.
R2
e zu vergrößern, muss der Körper K die
Um den Abstand vom Erdmittelpunkt auf den Wert R
Arbeit
Z Re
b dR
b
e
F (R)
E(R) =
R
verrichten.
i) Ist es möglich, mit einer hinreichend groß gewählten, radialen Anfangsgeschwindigkeit v
dem Gravitationsfeld der Erde zu entkommen?
Hinweis: Energieerhaltung.
ii) Kann K dem Gravitationsfeld entkommen, wenn K exakt im Erdmittelpunkt startet?
iii) Betrachten Sie ein Gravitationsgesetz“ der Form
”
F (R) = CR−α .
Für welche Werte von α kann ein Körper K dem Gravitationsfeld eines (beliebigen, mase entkommen?
sebehafteten) Körpers K
Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Seite 2 von 2
Datum: 22. April 2016
3.2. Zeigen Sie, dass die folgenden (unbestimmten)
Z ∞
dx
i)
I1 =
,
−x + ex
e
−∞
Z ∞
x2n
dx,
iii)
I3 =
(1 + x2 )n+1
0
Z ∞
dx
√
v)
I5 =
,
x(1 + x)
0
Integrale existieren:
Z ∞
2
ii)
I2 =
cos(x)e−x dx,
0
Z
1
dx
p
,
x(1 − x)
0
Z ∞
sin x1
√
I6 =
dx.
x
0
iv)
I4 =
vi)
3.3. Bestimmen Sie die Werte der angegebenen Integrale, falls diese existieren:
Z ∞
Z ∞
x
dx
,
a,
b
∈
R,
ii)
I
=
dx, a, b ∈ R,
i)
I1 =
2
2 + b2 x2
2 + b2 x2
a
a
−∞
−∞
Z ∞
Z 1
log(x)
x2
iii)
I3 =
dx,
iv)
I
=
dx,
4
2
x + x · (log(x))2
1
0 x + 2x + 2
Z
Z
dx
dx
v)
I5 =
,
vi
I6 =
, n ∈ N,
x(1 − x2 )
x(1 + x2n )
Z
Z 4
x3
x − x3 + x2 + x − 1
√
vii)
I7 =
dx.
,
vi)
I8 =
1 + x2
1 − x2
3.4.
i) Sei R(·) eine rationale Funktion, d.h. es gibt Polynome g und h, sodass gilt
∀x ∈
/ h−1 ({0}) :
g(x)
.
h(x)
R(x) =
Zeigen Sie die Formel
Z
b
R(ex ) dx =
eb
Z
ea
a
R(u)
du.
u
ii) Sei analog dazu R(·, ·) eine rationale Funktion, d.h. es gibt Polynome g(·, ·) und h(·, ·),
sodass gilt
g(x, y)
.
R(x, y) =
h(x, y)
Zeigen Sie die Formel
Z b
Z
R(cosh(x), sinh(x)) dx =
eb
R
ea
a
iii) Zeigen Sie, dass
Z b
Z
R(cos(x), sin(x)) dx =
a
tan(b/2)
R
tan(a/2)
u + u−1 u − u−1
,
2
2
1 − u2
2u
,
2
1 + u 1 + u2
iv) Berechnen Sie das Integral
Z
I=
π/2
sinn (x) dx
0
für ungerade n = 2k + 1 mithilfe der Substitution y = cos(x).
du
.
u
2
du.
1 + u2

Download Report