Herleitung der Patterson

Herleitung der Patterson-Funktion
von M.U. Schmidt und D. Hempler
in Anlehnung an: Woelfel: „Struktur und Praxis der Röntgenstrukturanalyse", Vieweg
Verlag 1987, S. 187-189.
Normale Fouriertransformation zur Berechnung der Elektronendichte:
, ,
=
1
1
Zur Vereinfachung betrachten wir den eindimensionalen Fall:
=
1
2
Patterson-Funktion (Patterson, 1935):
"
=
∙
#$
+
!
3
mit ρ(x): e-Dichte am Ort x, d.h. das 1. Atom
und ρ(x+u): e-Dichte am Ort x+u, d.h. ein 2. Atom im Abstand u.
Die Patterson-Funktion summiert über alle Atom-Atom-Paare.
(2) in (3)
=
"
#$
&
1
'∙&
1
(
(
(
)
'!
4
h‘ ist unabhängig von h.
Alle Terme ohne x kann man aus dem Integral ziehen.
=
1
(
+
(
∙
()
∙
"
,
#$
,
(-
-.
5
Ausführungen zum Integral (A)
"
0=
,
#$
Mit
5
"
0=
#$
cos −2A: ℎ + ℎC
Dann gilt:
#$
-!
= 6789 + :8:;9 ∶
"
Das Integral
"
(-
,
cos 0
#$
!
Das Integral
6
+ : 8:; −2A: ℎ + ℎC
cos −2A: ℎ + ℎC
!
7
! ist gleich null, außer wenn ℎ = −ℎC ist.
=1
"
sin 2π h + hC x ! ist immer gleich null.
#$
Für ℎ = −ℎ′ ist also A = 1, sonst A = 0.
Mit ℎ = −ℎ′ und anschließendem Umbenennen von h' zu h wird P(u) zu:
=
1
=
Es ist
∙
∗
Beweis:
∗
∗
=
=
[
[
∙
Z[ ∙ 6789 − : 8:;9
Z[ ∙ cos 2A:ℎ
− : sin 2A:ℎ
Mit 6789 = cos −9 und − 8:;9 = sin −9
∗
∗
=
=
[
8
)
Z[ ∙ cos 2A: −ℎ
+ : sin 2A: −ℎ
9
10
11
12
Daraus folgt:
=
=
1
1
|
∙
∗
| ∙
∙
13
)
14
)
Analog im 3-dimensionalen Fall:
, _, ` =
1
|
| ∙
)
a
b
15

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