Blatt 12 - TU Dortmund

WS 1516
TU Dortmund
Prof. Dr. Matthias Röger
Dipl.-Math. Carsten Zwilling
Analysis I
Blatt 12
Abgabe der Hausaufgaben: 01.02.2016 ; Test der Präsenzaufgaben: 27.01.2016-01.02.2016
Präsenzaufgabe 1 (4 Punkte). Sei f : R → R gegeben durch
cos(x) für x ≤ − π2 ,
f (x) :=
x + π2 für x > − π2 .
Zeigen oder widerlegen Sie:
i) f ist stetig auf R.
ii) f ist differenzierbar auf R.
iii) f besitzt ein (globales) Minimum.
iv) f ist streng monoton wachsend auf (−π, ∞).
Präsenzaufgabe 2 (4 Punkte). Sei f : R → R gegeben durch
f (x) := cos(x)e−x ,
x ∈ R.
i) Untersuchen Sie, für welche n ∈ N die n-te Ableitung f (n) : R → R existiert und berechnen
Sie diese gegebenenfalls.
ii) Entscheiden Sie, ob für n ∈ N
lim f (n) (x),
lim f (n) (x)
x→∞
x→−∞
existieren und berechnen Sie die Limiten gegebenenfalls.
Präsenzaufgabe 3 (4 Punkte). Seien n ∈ N, a ∈ R und bk ∈ R für k = 0, . . . , n und betrachten
n
P
Sie das Polynom P (x) :=
bk (x − a)k . Zeigen Sie: Die Koeffizienten erfüllen
k=0
bk =
P (k) (a)
k!
, k = 0, . . . , n.
Aufgabe 1 (4 Punkte). i) Seien m ∈ N0 , D ⊂ R und f, g ∈ C m (D). Zeigen Sie, dass dann
die m-te Ableitung von f g existiert mit
m X
m (m−k) (k)
(m)
(f g)
=
f
g .
k
k=0
ii) Berechnen Sie
h(2016)
für h : R → R mit h(x) := x3 ex für x ∈ R.
Aufgabe 2 (4 Punkte). Sei f : R → R eine differenzierbare Funktion. Zeigen Sie: Ist f gerade
bzw. ungerade, dann ist f 0 ungerade bzw. gerade.
Gilt die Umkehrung dieser Aussage?
Bonus: (2 Punkte). Sei n ∈ N und f : R → R gegeben durch
n
X
f (x) =
bk xk
, wobei bk ∈ R für k = 0, . . . , n.
k=0
Zeigen Sie, dass f genau dann gerade bzw. ungerade ist, wenn bk = 0 für alle für alle ungeraden
bzw. geraden k ∈ {1, . . . , n}.
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Aufgabe 3 (4 Punkte). Sei f : (0, 1] → R eine differenzierbare Funktion mit |f 0 (x)| < 1 für
alle x ∈ (0, 1].
Zeigen Sie, dass die Folge (an )n∈N mit an = f n1 für n ∈ N konvergiert.
Hinweis: Weisen Sie nach, dass (an )n∈N eine Cauchyfolge ist.
Bonus: (2 Punkte). Existiert in der obigen Situation der Limes lim f (x)? Beweisen Sie Ihre
x&0
Aussage oder geben Sie ein geeignetes Gegenbeispiel an.
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