Merkzettel „Folgen und Reihen“

Merkzettel „Folgen und Reihen“
22.2.2016
Folgen reeller Zahlen:
Konvergenz gegen a :∀𝜀 > 0: (∃ N(𝜀) : ∀ 𝑛 ≥ N(𝜀) : |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀 )
1 𝑛
lim (1 + ) = 𝑒
𝑛→∞
𝑛
Cauchy-Folge: ∀𝜀 > 0: (∃ N(𝜀) : ∀ 𝑚, 𝑛 ≥ N(𝜀) : |𝑎𝑚 − 𝑎𝑛 | < 𝜀 ) Jede Cauchy-Folge ist beschränkt
Jede reelle Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist, da ∀𝜀 > 0: (∃ N(𝜀) : |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚 | ≤ |𝑎𝑛 − 𝑎| + |𝑎𝑚 − 𝑎| < 2𝜀 )
Divergenz: ∃𝜀 > 0: (∀𝑁: ∃ 𝑛 ≥ 𝑁: |𝑎𝑛 − 𝑎| ≥ 𝜀 )
Bestimmte Konvergenz gegen ∞: ∀𝐾 ∈ ℝ+ : ∃𝑁 = N(𝐾) : ∀ 𝑛 ≥ N(𝐾) : 𝑛 ≥ 𝑁
Bolzano-Weierstrass: Jede beschränkte unendliche Teilmenge von ℝ besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Häufungspunkt:
Ein Punkt ist ein Häufungspunkt, wenn in jeder beliebig kleinen ε-Umgebung unendlich viele Punkte liegen.
Wichtige Summenformeln:
Geometrische Summe q≠1
𝑛
∑ 𝑞𝑘 =
𝑘=0
Arithmetische Summe Quadratische Summe
𝑛
𝑛+1
1−𝑞
1−𝑞
1
bei q=1
∑ 𝑘 = 𝑛(𝑛 + 1)
∑=(n+1)
2
𝑘=1
Binomischer Lehrsatz
𝑛
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑘=0
𝑘=0
1
𝑛
𝑛
∑ 𝑘² = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) (𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑ ( ) 𝑥 𝑛−𝑘 𝑦 𝑘 = ∑ ( ) 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛−𝑘
𝑘
𝑘
6
Wichtige konvergente Reihen:
Diverse konvergente nicht-alternierende Reihen
∞
∑
𝑛=1
∞
∞
∞
∞
∞
𝑛=1
𝑛=1
∞
𝑘=1
𝑛=0
∞
∞
𝑥𝑛
𝑥 2𝑛+1
𝑥 2𝑛
1
1
1
1
𝜋2
∑
= 𝑒𝑥 ∑
= sinh 𝑥 ∑
= cosh 𝑥
; 𝑚≥2 ∑ 𝑛 ; 𝑚>1 ∑
∑ 2=
(2𝑛 + 1)!
(2𝑛)!
𝑛!
𝑛𝑚
𝑚
𝑛(𝑛 + 1)
𝑘
6
1
∑ 𝑞𝑘 =
1−𝑞
𝑘=0
(0 < |𝑞| < 1)
„geom. Reihe“
𝑛=0
𝑛=0
∞
(2𝑛 − 1)‼ 𝑥 2𝑛+1
𝑥 2𝑛+1
∑
= arcsin 𝑥 ∑
= artanh 𝑥
(2𝑛)!! 2𝑛 + 1
2𝑛 + 1
𝑛=1
𝑛=0
∞
𝑐
∑ ( ) 𝑥 𝑛 = (1 + 𝑥)𝑐
𝑛
𝑛=0
Diverse konvergente alternierende Reihen
∞
∑(−1)𝑛
𝑛=0
∞
𝑥 2𝑛+1
= sin 𝑥
(2𝑛 + 1)!
∑(−1)𝑛
𝑛=0
∞
∞
∞
𝑛=1
𝑛=0
𝑛=0
𝑥 2𝑛
𝑥𝑛
𝑥 2𝑛+1
1
= cos 𝑥 ∑(−1)𝑛−1
= ln(1 + 𝑥) ∑(−1)𝑛
= arctan(𝑥) ∑(−1)𝑛 = ln 2
(2𝑛)!
𝑛
2𝑛 + 1
𝑛
Konvergenzbedingungen:
Nicht-alternierende Reihen ∑an (Notwendige Konvergenzbedingung: lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0) :
Konvergente Majorante ∑mn Konvergenz, wenn fast alle Glieder 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑚𝑛
Divergenz, wenn fast alle Glieder 𝑎𝑛 ≥ 𝑚𝑛
Divergente Minorante ∑mn
Quotientenkriterium: 𝑟 = lim𝑘→∞ |
𝑎𝑘+1
𝑎𝑘
∞
∑
𝑛=1
1
("ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝑅𝑒𝑖ℎ𝑒", 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑀𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒)
𝑛
𝑘
| Wurzelkriterium: 𝑟 = lim √|𝑎𝑘 | r<1 … abs. Konv.; r>1 … Divergenz abs. Konverg.: ∑∣ak∣ = konv
𝑘→∞
∞
Sei f(𝑥) auf [m,∞] positiv und monoton fallend. Dann: (∫𝑚 f(𝑥) 𝑑𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡) ⟺ (∑∞
𝑘=𝑚 f(𝑘) 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡)
Integral-Kriterium:
Alternierende Reihen ∑an : Leibnitz-Kriterium: ∑an konvergent, wenn (lim𝑛→∞|𝑎𝑛 | = 0) ˄ (|𝑎𝑛 | 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛)
Diverses:
Potenzreihe
Cauchy’sche Produktreihe
∞
1
∞
1
∞
∞
𝑘
p(𝑧) = ∑ 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 Konvergent wenn |𝑧| < 𝑅 mit 𝑅 = lim𝑛→∞ 𝑛√|𝑎𝑛 | bzw. 𝑅 = lim𝑛→∞|𝑎𝑛+1| ∑ 𝑎𝑘 = 𝑎; ∑ 𝑏𝑘 = 𝑏 → ∑ ∑ 𝑎𝑘−𝑙 𝑏𝑙 = 𝑎𝑏
𝑎𝑛
𝑛=0
𝑘=0
𝑘=0
𝑘=0 𝑙=0
Punkteweise konv.: ∀𝑥 ∈ 𝐼: ∃ lim𝑛→∞ {f𝑛 (𝑥)} Gleichm. konv.: lim𝑛→∞ sup𝑥∈𝐼 |f𝑛 (𝑥) − f(𝑥)| = 0; f(𝑥) = lim𝑛→∞ f𝑛 (𝑥)
Funktionenreihe
Taylor-Entwickung und Taylor-Reihen:
∞
Entwicklung
an x0:
f(𝑥) = ∑
Entwicklung
an x0=0:
f(𝑥) = ∑
f (𝑛) (𝑥0 )
f ′ (𝑥0 )
f ′′ (𝑥0 )
f (𝑛) (𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛 = f(𝑥0 ) +
(𝑥 − 𝑥0 ) +
(𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯ +
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛 + R 𝑛+1 (𝑥)
𝑛!
1!
2!
𝑛!
𝑛=0
∞ (𝑛)
(0)
𝑛=0
f
𝑛!
𝑥 𝑛 = f(0) +
f ′ (0)
f ′′ (0) 2
f (𝑛)(0) 𝑛
𝑥+
𝑥 + ⋯+
𝑥 + R 𝑛+1 (𝑥)
1!
2!
𝑛!
𝑥
Restglied nichtf (𝑛+1)(𝑥0 + 𝜗ℎ) 𝑛+1
1
R 𝑛+1 (𝑥) =
ℎ
= ∫ f (𝑛+1)(𝑡) (𝑥 − 𝑡)𝑛 𝑑𝑡 = 𝒪(|ℎ|𝑛+1 ) ; ℎ = 𝑥 − 𝑥0 ; 𝜗 ∈ (0,1)
alternierende
(𝑛 + 1)!
𝑛!
Reihe:
𝑥0
Restglied alternierende Reihe: |𝑅𝑛+1 (𝑥)| ≤ 𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
Konvergenzradius: 𝑟 = lim𝑛→∞ |𝑎
𝑛+1
|
Fourier-Reihen:
∞
f(𝑥) = 𝑎0 + ∑∞
𝑛=1(𝑎𝑛 cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛 sin 𝑛𝑥 ) = 𝑎0 + ∑𝑛=1 𝐴𝑛 sin(𝑛𝑥 + 𝜑𝑛 )
Periode 2π: 𝑎0 =
2𝜋
∫ f(𝑥) 𝑑𝑥 ;
2𝜋 0
1
1
2𝜋
𝑎𝑛 = ∫0 f(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥; 𝑏𝑛
𝜋
𝐴𝑛 = √𝑎𝑛 2 + 𝑏𝑛 2 ; 𝜑𝑛 = arctan
2𝜋
∫ f(𝑥) sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋 0
1
Periode T:
𝑎𝑛
𝑏𝑛
1
2
𝑎0 = ∫ … 𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛 = ∫ …
𝑇
𝑇
Bei geraden Funktionen f(-x)=f(x) nur cos(nx), bei ungeraden Funktionen f(-x)=-f(x) nur cos(nx)-Terme.
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-1-
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