A. Darre Analysis 1 3. Übungsblatt 2006/07 Übungsaufgaben (mit Lösung) Kapitel 3: Stetigkeit 1. Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen bei x = 0 stetig fortgesetzt werden können: √ x>0 (a) f1 (x) = x−1 · (( 2 + x)−2 − 12 ); √ (b) f2 (x) = x−1 · ( x + 1 − 1); x>0 Lösung: (a) √ √ −2 2 − x 1 2 − 2 − 2 2x − x2 √ √ = f1 (x) = · x 2( 2 + x)2 2(2 + 2 2x + x2 ) Dieser Term existiert für x = 0, also ist die Funktion bei x = 0 mit y = − √12 stetig fortsetzbar. (b) f2 (x) = 1 x+1−1 1 ·√ =√ x x+1+1 x+1+1 Dieser Term existiert für x = 0, also ist die Funktion bei x = 0 mit y = stetig fortsetzbar. 1 2 2. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit. (a)   |x|, falls x < 0 x, falls 0 ≤ x < 2 f (x) =  2 x , falls x ≥ 2 (b) √ 1 + x2 , falls x ≤ 0 g(x) = √ x + x2 , falls x > 0 Lösung: (a) x = 0 stetig, x = 2 unstetig (b) x = 0 unstetig 3. Untersuchen Sie f in Dmax auf Stetigkeit! Dabei auftretende stetig behebbare Definitionslücken sind zu schließen! x2 − 4 x2 + x − 2 x−9 (a) f (x) = (b) f (x) = 2 (c) f (x) = √ x−3 x−2 x − 3x + 2 Lösung: (a) Df = R \ {2}, lim f (x) = 4, fe(x) = x + 2 für x ∈ R. x→2 (x − 1)(x + 2) , Df = R \ { 1 ; 2 }, lim f (x) = ±∞, lim f (x) = −3, x→1 (x − 1)(x − 2) x→2± x + 2 für x ∈ R \ {2}. fe(x) = x−2 (b) f (x) = 1 √ e (c) Df = R+ x + 3 für x ∈ R+ 0 \ {9}, lim f (x) = 6, f (x) = 0. x→9 4. Begründen sie folgende Aussage: Jedes Polynom (p (x) = xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 . . . an−1 x + an , D = R) ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle. Lösung: lim p(x) = ±∞, d. h. es gibt eine Zahl a > 0, für die gilt f (a) > 0 und eine x→±∞ Zahl b < 0, für die gilt f (b) < 0. Deshalb gibt es nach dem Zwischenwertsatz im Intervall [b, a] mindestens eine Nullstelle. Hausaufgabe E Wir betrachten die Funktion √ 2 x2 − 4 f (x) = x mit Df = R \ ] − 2; 2] Zeichnen Sie den Graphen von f , berechnen Sie die Gleichung von g(x) = f −1 (x) und untersuchen Sie g auf Stetigkeit! Ist das Ergebnis ein Widerspruch zu dem Satz: Ist f stetig und umkehrbar auf einem Intervall I, dann ist f −1 stetig auf Wf .  −4  √ 4 − x2 Lösung: lim f (x) = ±2, g(x) = 4 x→±∞  √ 4 − x2 für −2 < x ≦ 0 für 0 < x < 2 lim g(x) = 2, lim = −2, d.h. g nicht stetig bei x = 0. x→0+ x→0− Kein Widerspruch, da Df kein Intervall! 2