Differenzierbarkeit einer Funktion f an einer Stelle x0

Cusanus-Gymnasium Wittlich
Kursleiter : W. Zimmer
Differenzierbarkeit einer Funktion f an einer Stelle x0
Definition: Die Funktion f sei auf einem ganzen Intervall I definiert und x0 ∈ I
Wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten
f(x) − f(x 0 )
für
x − x0
x → x 0 existiert, dann heißt f an der Stelle x0 differenzierbar (bzw.
ableitbar). Man nennt diesen Grenzwert die Ableitung von f an der
Stelle x0 und schreibt dafür f ’(x0)
f '(x 0 ) = lim
x → x0
f(x) − f(x 0 )
x − x0
„x-Methode“
Schreibt man x-x0=h und damit x=x0+h so ergibt sich die „h-Methode“
f(x 0 + h) − f(x 0 )
h→0
h
f '(x 0 ) = lim
Geometrische Bedeutung:
Der Differenzenquotient
f(x) − f(x 0 )
beschreibt die Steigung der Sekante
x − x0
durch die beiden Punkte P0(x0 | f(x0) ) und P(x|f(x))
1
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Kursleiter : W. Zimmer
Nähert man sich mit der Stelle x immer mehr der Stelle x0 , bann nähert sich die
Sekante immer besser dem Kurvenverlauf des Graphen von f an. Im Grenzfall
x → x 0 bzw. h → 0 wird aus der Sekante die Tangente an den Graphen in
P(x0|f(x0)). Die Steigung dieser Tangente ist dann gerade f ’(x0)
Beispiele für Ableitungen:
f(x)=x , x0 beliebig
f(x 0 + h) − f(x0 ) (x0 + h) − x0 h
=
=
= 1
≠0
fallsh
h
h
h
mit
f’(x0)=2x0
für f(x)=x2
f(x 0 + h) − f(x 0 )
= lim1 = 1 hat man dann
h→0
h →0
h
lim
Wählt man für die Variable x0 die Bezeichnug x so hat man
die Ableitung f ’(x)= 2x
2
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Kursleiter : W. Zimmer
f(x)=x2 , x0 beliebig
f(x 0 + h) − f(x0 ) (x0 + h)2 − x 0
2x0h + h2 h(2x0 + h)
=
=
=
= 2x 0 + h
fallsh≠ 0
h
h
h
h
2
f(x 0 + h) − f(x 0 )
= lim(2x 0 + h) = 2x 0 hat man dann
h→0
h →0
h
lim
mit
f’(x0)=2x0
Wählt man für die Variable x0 die Bezeichnug x so hat man
für f(x)=x2
die Ableitung f ’(x)= 2x
f(x)=x3 , x0 beliebig
f(x0 + h) − f(x0 ) (x0 + h)3 − x0
3x02h + 3x0h2 + h3 h(3x02 + 3x0h + h2 )
=
=
=
h
h
h
h
=
3x02 + 3x0h + h2
3
falls h≠0
f(x 0 + h) − f(x 0 )
= lim(3x 02 + 3x 0h + h2 ) = 3x 02 hat man
h→0
h→0
h
lim
mit
dann
f '(x 0 ) = 3x 02
3
für f(x)=x
Wählt man für die Variable x0 die Bezeichnug x so hat man
2
die Ableitung f '(x) = 3x
3
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Kursleiter : W. Zimmer
f(x)=k , x0 beliebig k ∈ » „Konstante Funktion“
f(x 0 + h) − f(x 0 ) k − k 0
=
=
= 0
h
h
h fallsh≠0
f(x 0 + h) − f(x 0 )
= lim 0 = 0 hat man dann
h→0
h→0
h
mit
lim
f’(x0)=0
Wählt man für die Variable x0 die Bezeichnug x so hat man
für f(x)=k
die Ableitung f ’(x)= 0
Aufgabe1 :
f(x)=x4 , x0 beliebig
f(x0 + h) − f(x0 )
=
h
Aufgabe2 :
Stelle eine Vermutung auf für die Ableitung von f(x)=xn , x0 beliebig , n ∈ »
4
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Kursleiter : W. Zimmer
f(x)= x , x0 >0 beliebig
x + h − x0 ( x0 + h − x0 ) ⋅ ( x0 + h + x0 )
f(x0 + h) − f(x0 )
= 0
=
h
h
h ⋅ ( x0 + h + x0 )
=
(x0 + h) − x0
=
1
h( x0 + h + x0 ) falls h≠0 x0 + h + x0
f(x 0 + h) − f(x 0 )
1
1
= lim
=
h→0
h→0
h
x0 + h + x0 2 ⋅ x0
lim
mit
hat man
dann
f '(x 0 ) =
1
die Ableitung f '(x) =
für f(x) = x
f(x) =
Wählt man für die Variable x0 die Bezeichnung x so hat man
2 x0
1
; x≠0
x
, x0 ≠ 0
1
2 x
x>0 !
beliebig
1
1
x0 − (x0 + h)
−
f(x0 + h) − f(x0 ) x0 + h x0
(x0 + h)x0
−h
=
=
=
h
h
h
h(x0 + h)x0
f(x 0 + h) − f(x 0 )
−1
−1
= lim
= 2 hat man dann
h→0
h→0 (x + h)x
h
x0
0
0
lim
mit
f’(x0)= −
−1
fallsh≠0 (x + h)x
0
0
=
1
x 02
für f(x) =
Wählt man für die Variable x0 die Bezeichnug x so hat man
1
; x≠0
x
die Ableitung
f '(x) = −
1
; x≠0
x2
5
Cusanus-Gymnasium Wittlich
Kursleiter : W. Zimmer
Aufgabe 3
Bilde die Ableitungen zu
f(x)= 3 x , x>0 ; x0 >0 beliebig
f(x) =
1
; x ≠ 0 ; x0 ≠ 0
x3
beliebig
verwende dazu die „x-Methode“ und eine der Formeln
a3 − b3 = (a − b) ⋅ (a2 + ab + b 2 )
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
a − b = (a − b ) ⋅ (a + a ⋅ b + b )
Zusatzfrage: Warum ist die zweite Formel ein Spezialfall der ersten Formel ?
6

Download Report