Stetigkeit - feuerbachers

Stetigkeit
Bei den abschnittsweise definierten Funktionen haben wir einige Beispiele gehabt, bei denen der Graph
„Sprünge“ gemacht hat (z. B. Porto-Funktionen). Alle anderen bisherigen Graphen (von ganzrationalen
Funktionen) hatten dagegen keine Sprünge.
Da dies (nicht nur!) für’s Zeichnen der Graphen wichtig zu wissen ist, gibt es dafür einen eigenen Begriff:
Eine Funktion heißt stetig, wenn ihr Graph keine Sprünge macht, wenn man ihn also mit dem Bleistift
ohne Absetzen durchzeichnen kann.
Man möchte natürlich wissen, ob eine Funktion stetig ist, auch ohne extra den Graph zeichnen zu müssen.
Gesucht ist also eine rechnerische Methode zur Überprüfung.
Betrachte dafür als Beispiel nochmals die Porto-Funktion (hier nur ein Ausschnitt des Graphs):
Porto in €
2
1,6
1,2
0,8
0,4
Gewicht x in g
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Bei dieser gibt es beispielsweise bei x = 20 einen Sprung im Graph. Dieser kommt daher, dass für jedes
Gewicht x ≤ 20 das Porto 0,55 beträgt, für x > 20 aber dann plötzlich 0,90. Man könnte sagen, an der
Stelle x0 = 20 gibt es zwei verschiedene Funktionswerte, und deshalb macht der Graph einen Sprung –
das stimmt aber natürlich nicht! (erinnere: bei einer Funktion wird jedem x-Wert immer nur genau ein yWert zugeordnet...) Der Funktionswert bei x0 = 20 ist eindeutig gleich 0,55; nur für x > 20 ist er gleich
0,90. Man kann sich aber „von rechts“ an die Sprungstelle annähern – rechts von x0 = 20 ist der
Funktionswert überall 0,90, also gilt auch:
lim p( x) = 0,90,
x→ 20
vorausgesetzt, dass x > 20 ist. Man nennt dies den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion p an der Stelle
x1 = 20. Entsprechend gibt es natürlich auch einen linksseitigen Grenzwert. Man schreibt für diese beiden
Grenzwerte einer Funktion f an einer Stelle x0:
linksseitig: lim
f ( x) ;
rechtsseitig: lim
f ( x)
>
<
x → x0
x → x0
Im Beispiel der Porto-Funktion gilt für den linksseitigen Grenzwert natürlich
lim
p ( x) = 0,55,
<
x → 20
er stimmt also mit dem Funktionswert p(20) überein. Dagegen stimmen links- und rechtsseitiger
Grenzwert hier nicht überein – und daran sieht man, dass der Graph dort einen Sprung macht, die
Funktion dort also nicht stetig ist!
Umgedreht gilt aber nicht, dass eine Funktion automatisch stetig bei x0, ist, wenn der links- und rechts3 für x = 2
seitige Grenzwert überein stimmen. Betrachten wir das Beispiel f ( x) = 
.
1 für x ≠ 2
f ( x) = 1 und lim
f ( x) = 1 ; links- und rechtsseitiger
Hier gilt für die beiden Grenzwerte bei x0 = 2: lim
<
>
x→2
x→2
Grenzwert stimmen also überein. Betrachtet man aber den Graph:
y
4
3
2
1
0
-1
x
0
1
2
3
4
5
so sieht man, dass f an der Stelle x0 = 2 trotzdem nicht stetig ist. Das liegt offensichtlich daran, dass die
beiden Grenzwerte eben nicht mit dem Funktionswert an dieser Stelle überein stimmen. Also folgt:
Überprüfen der Stetigkeit an einer Stelle x0:
Berechne die „linksseitigen“ und „rechtsseitigen“ Grenzwerte und den Funktionswert an dieser Stelle; nur
wenn alle drei gleich sind, ist die Funktion dort stetig.
Anmerkung: In der Formelsammlung steht die Definition folgendermaßen:
Eine Funktion heißt (lokal) stetig an einer Stelle x0, wenn lim f ( x) = f ( x0 ) gilt.
x → x0
Dies ist letztlich eine Kurzschreibweise – bei abschnittsweise definierten Funktionen gibt es ja nicht nur
eine Möglichkeit, den Grenzwert zu berechnen, sondern eben die beiden Möglichkeiten links- und
rechtsseitiger Grenzwert. Deswegen steht die Formulierung in der Formelsammlung kurz für:
Eine Funktion heißt (lokal) stetig an einer Stelle x0, wenn lim
f ( x) = lim
f ( x) = f ( x0 ) gilt.
<
>
x → x0
x → x0
globale Stetigkeit und Stetigkeitssätze:
Ein Funktion heißt (global) stetig, wenn sie für alle x ∈ D stetig ist.
Die globale Stetigkeit könnte man überprüfen, indem man für jede einzelne Stelle x0 ∈ D prüft, ob die
Funktion dort stetig ist. Das ist natürlich relativ aufwendig (selbst wenn man die Rechnung nur einmal
allgemein durchführt); statt dessen ist es praktisch immer einfacher, die Stetigkeitssätze zu benutzen.
Diese folgen direkt aus den Grenzwertsätzen und besagen einfach:
Sind die Funktionen f und g mit Df = Dg stetig, so sind auch f+g, f–g, f·g und f/g in ihrer jeweiligen
Definitionsmenge stetig.
Da die konstanten Funktionen f(x) = a (mit a ∈ R) und genauso die Funktion f(x) = x offensichtlich
(global) stetig sind, folgt mit den Stetigkeitssätzen:
• f(x) = x2 = x·x ist stetig (Produkt!)
• ebenso: f(x) = a xn ist stetig (Produkt!)
alle Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten sind
stetig
• alle Summen von Potenzfunktionen sind stetig – also sind alle ganzrationalen Funktionen stetig

Download Report