Analysis 1 (WS 2015/16) — Vortragsübung 3

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Dr. James Kennedy, Dr. Marco Falconi
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Datum: 15. Januar 2016
Analysis 1 (WS 2015/16) — Vortragsübung 3
Er ist ein Mathematiker, und also hartnäckig.
(Johann Wolfgang von Goethe; 1749–1832)
3.1. (vgl. die Anwendung nach Theorem 4.4.6 der Vorlesung)
Die stetige Funktion f : (a, b) → C sei gegeben. Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen
äquivalent sind:
(a) Es existieren limx→a f (x) und limx→b f (b).
(b) f ist gleichmäßig stetig auf (a, b).
3.2. (vgl. Satz 4.4.9 der Vorlesung)
Beweisen Sie, dass eine Funktion f : D → C (mit D ⊂ R) genau dann in einem inneren Punkt
x0 ∈ D stetig ist, wenn die einseitigen Grenzwerte f (x0 −) := limx→x0 − f (x) und f (x0 +) :=
limx→x0 + f (x) existieren und es gilt
f (x0 −) = f (x0 ) = f (x0 +).
3.3. Untersuchen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.
(a) lim x3 ;
x→∞
x2 − 5x + 4
;
x→2 x3 − x − 1
x3 + x2 − x − 1
(c) lim
;
x→1
x−1
(b) lim
sin x
;
x
x+1
(e) lim
;
x→∞
x
(d) lim
x→∞
1
(f ) lim | sin x| x .
x→∞
Und wenn die Zeit reicht. . .
3.4. Sei M > 0. Angenommen, für Funktionen f, g : R → R gelte limx→0 f (x) = 0 und |g(x)| ≤
M für alle x ∈ R. Beweisen Sie direkt mit der ε-δ-Definition des Grenzwertes, dass auch
limx→0 f (x)g(x) = 0.
3.5. Es sei I := [a, b] ⊂ R ein kompaktes Intervall. Beweisen Sie: Ist f : I → R stetig und injektiv,
so ist f streng monoton.

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