3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen Beispiele: • 1, 2, 3, 4

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte
3.1 Zahlenfolgen
Beispiele:
•
1, 2, 3, 4, 5, ….
•
1, 3, 5, 7, 9, …
•
3, 6, 9, 12, 15, …
•
2, 4, 8, 16, 32, 64, …
•
10, 100, 1.000, 10.000, …
1
3 Folgen, Reihen, Grenzwerte
3.1 Zahlenfolgen
Definition:
Eine Folge ist eine geordnete Menge von Elementen an (den
sogenannten “Gliedern”), die eindeutig den natürlichen Zahlen
zugeordnet sind (n ∈ N ; auch üblich: n ∈ N0 ):
{ 𝒂𝒏 } = 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒂𝟑 , … , 𝒂𝒏 .
Man unterscheidet endliche Folgen mit n ≤ N
und
unendliche Folgen mit n → ∞.
Wir betrachten hier ausschließlich unendliche Folgen.
Die Vorschrift zur Vorgabe einer Zahlenfolge kann entweder in
Form eines analytischen Ausdrucks oder in Form einer
Rekursionsformel erfolgen.
∞
∞
2
Beispiel: Der analytische Ausdruck (𝒂𝒏 )n∈N = (𝒂𝒏 ) = (n )
1
1
(Kurzschreibweise: 𝒂𝒏 = n2 ) ergibt die Zahlenfolge
1, 4, 9, 16, 25, 36, ….
2
Arithmetrische Folgen (Rekursionsformel):
Die Differenz benachbarter Glieder ist konstant:
𝒂𝒏 - 𝒂𝒏−𝟏 = d ∀ n ∈ N
Beispiel: 𝒂𝒏 = 2n ergibt eine arithmetrische Folge
2, 4, 6, 8, 10, 12, ….
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏−𝟏 + (n - 1) • 2
Geometrische Folgen (Rekursionsformel):
Der Quotient benachbarter Glieder ist konstant:
𝒂𝒏+𝟏 : 𝒂𝒏 = q ∀ n ∈ N
Beispiel: 𝒂𝒏 =
1
2𝑛
ergibt eine geometrische Folge.
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
, , , , …
𝟐 𝟒 𝟖 𝟏𝟔 𝟑𝟐
𝟏
𝟐
𝒂𝒏 = 𝒂𝒏 ( ) n-1
3
Exkurs :
Arithmetrisches Mittel
𝒂 arithm =
𝟏
(𝒂𝟏
𝒏
Geometrisches Mittel
𝒂 geom =
𝒏
+ 𝒂𝟐 + … + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏 )
𝒂𝟏 • 𝒂𝟐 • … • 𝒂𝒏−𝟏 • 𝒂𝒏
4
Eigenschaften unendlicher Folgen:
streng monoton fallend
monoton fallend
an+1 < an
an+1 ≤ an
streng monoton steigend
monoton steigend
an+1 > an
an+1 ≥ an
konstant
an+1 = an
x ist untere Schranke der Folge
y ist obere Schranke der Folge
x ≤ an
y ≥ an
beschränkte Folge
x ≤ an ≤ y ∀ n
alternierende Folge
Werte sind abwechselnd
positiv und negativ
∀n
∀n
5
Beispiele
a) an = n2 mit 1, 4, 9, 16, 25, 36, …. ist unbeschränkt und
streng monoton steigend. 1 ist die untere Schranke.
1
𝑛
1 1 1 1
, , , , … ist
1 2 3 4
b) an = mit
eine beschränkte und streng
monoton fallende Folge. Die obere Schranke ist 1, die untere
Schranke ist 0.
1
𝑛
(-1)n
1
1
1
1
1
1
+ ,− ,+ ,− ,+ ,− ,…
2
3
4
5
6
7
c) an =
mit -1,
ist eine alternierende (nicht monotone) Folge.
Die obere Schranke ist 1/2, die untere Schranke ist -1.
6
3.1.1 Konvergenz von Folgen
Die Werte der Folgen aus den Beispielen b) und c) nähern
sich mit zunehmenden n immer mehr der Null an.
Wenn sich eine Folge an für n → ∞ beliebig nahe an einen
Wert a annähert, dann ist a der Grenzwert der Folge, d.h. die
Folge konvergiert gegen a.
Zur exakten Definition der Begriffe Grenzwert und
Konvergenz wird 𝜀 > 0 eingeführt
(𝜀 ist eine beliebig kleine, positive Zahl).
7
3.1.1 Konvergenz von Folgen
Definition Grenzwert:
Eine Zahlenfolge { an } hat den Grenzwert a, wenn für alle 𝜀 > 0
eine Zahl n0 ∈ N existiert, die die folgende Bedingung erfüllt:
Für alle n ≥ n0 gilt: |an – a | < 𝜺 .
Der Grenzwert wird auch als Limes bezeichnet.
Die gebräuchliche Schreibweise ist 𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = a.
𝒏→∞
8
Beispiel:
1
Wir überprüfen die Annahme, dass 𝑎𝑛 = ( n ∈ N ) den
𝑛
Grenzwert a = 0 hat.
Zuerst bestimmt man | 𝑎𝑛 - a | :
| 𝑎𝑛 - a | = | 𝑎𝑛 - 0 | = | 𝑎𝑛 | =
Für alle n ≥ 𝑛0 ( n,𝑛0 ∈ N ) gilt:
1
1
≤ <𝜀
𝑛
𝑛0
1
𝑛
.
∀ n ≥ 𝑛0
n ≥ 𝑛0 > 𝜀 ,
d.h. alle 𝑎𝑛 mit n ≥ 𝑛0 liegen beliebig nahe am Grenzwert a = 0.
9
Konvergente Folge:
Eine Folge, für die ein Grenzwert existiert, heißt
konvergente Folge.
Eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a = 0 heißt Nullfolge.
Konvergente Folgen sind immer beschränkt.
Allerdings ist nicht jede beschränkte Folge konvergent!
𝑎𝑛
= (−1)𝑛
= -1; +1; -1; +1; -1; …..
+1 und -1 bilden sogenannte Häufungspunkte, d.h. in der
𝜀 -Umgebung um +1 bzw. -1 liegen unendlich viele Glieder der
Folge.
Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt,
nämlich ihren Grenzwert.
10
Divergente Folge:
Eine divergente Folge ist eine nicht konvergente Folge.
Beispiele: an = (-1)n und an = n².
Arithmetrische Folgen sind divergent.
Geometrische Folgen sind
• konvergent für |q| ≤ 1 und
• divergent für |q| > 1.
11
3.1.2 Rechnen mit Grenzwerten (von konvergente Folgen)
Für zwei konvergente Folgen 𝑎𝑛 und 𝑏𝑛 und c ∈ R gilt:
• lim (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )
= lim (𝑎𝑛 ) + lim (𝑏𝑛 )
• lim (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )
= lim (𝑎𝑛 ) + lim (𝑏𝑛 )
• lim (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 )
= lim (𝑎𝑛 ) + lim (𝑏𝑛 )
• lim (𝑎𝑛 • 𝑏𝑛 )
= lim (𝑎𝑛 ) • lim (𝑏𝑛 )
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
•
𝑎𝑛
lim ( )
𝑛→∞ 𝑏𝑛
• lim ( c • 𝑎𝑛 )
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
= lim (𝑎𝑛 ) / lim (𝑏𝑛 ) ( mit lim (𝑏𝑛 ) ≠ 0 )
=
c • lim (𝑎𝑛 )
𝑛→∞
𝑛→∞
12
Beispiele:
𝑎𝑛 =
2𝑛2 −3
𝑛2 +5𝑛+1
𝑎𝑛 =
𝑎𝑛 =
2𝑛−
2
𝑛3
5 2 𝑛 −𝑛 +2
2
𝑛+1-
2
2
𝑛3
𝑛
13
3.1.3 Spezielle Folgen und ihr Grenzwert
Für zwei konvergente Folgen 𝑎𝑛 und 𝑏𝑛 und c ∈ R gilt:
1
𝑛→∞ 𝑛𝛼
lim (
)
=0
lim
𝑛
𝑛
=1
lim
𝑛
𝑝
=1
𝑛→∞
𝑛→∞
lim ( 1 +
𝑛→∞
1
)
𝑛
𝑛
für 𝛼 ∈ { 𝛼 ∈ Q | 𝛼 > 0 }
für 𝑝 ∈ R+
= e ≈ 2,71828….
14
3.2 Reihen
Definition:
Eine Reihe ist die Summe der Elemente einer Folge.
∞
𝑛=1 𝑎𝑛
= a1 + a2 + a3 + …
Eine Summationen von unendlich vielen Summanden ist in
der Realität nicht möglich.
Man kann aber Partialsummen sn = 𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 an der Reihe
betrachten:
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
...
...
sn = a1 + a2 + a3 + … + an.
15
Die Teilsummen sn bilden wieder eine Folge. Wie wir zuvor
gesehen haben, gibt es zwei Möglichkeiten:
a) Die Folge mit den Gliedern an konvergiert gegen einen
Grenzwert S. In dem Fall ist auch die Reihe ∞
𝑛=1 𝑎𝑛
konvergent. Der Grenzwert der Reihe ist S und man schreibt:
lim 𝑎𝑛 = S
𝑛→∞
∞
𝑛=1 𝑎𝑛
= S.
b) Die Folge mit den Gliedern an ist divergent. In dem Fall ist
auch die Reihe ∞
𝑛=1 𝑎𝑛 divergent.
16
3.2.1 Konvergenzkriterium
Konvergenzkriterium für eine Reihe
a) Notwendige (,aber nicht hinreichende ) Bedingung:
𝒂𝒏 ist eine Nullfolge, d.h.
lim 𝑎𝑛 = 0.
𝑛→∞
b) Majoranten-Kriterium:
Gilt | 𝑎𝑛 | ≤ 𝑏𝑛 und ist ∞
𝑛=1 𝑏𝑛 konvergent,
so ist auch ∞
𝑛=1 𝑎𝑛 konvergent.
c) Quotienten-Kriterium:
∞
𝑛=1 𝑎𝑛 ist konvergent, wenn gilt
𝑎𝑛+1
lim |
|<1.
𝑛→∞
𝑎𝑛
17
d) Wurzelkriterium:
∞
𝑛𝑎 ist konvergent, wenn gilt lim | 𝑛 𝑎
−1
𝑛 | < 1.
𝑛=1
𝑛
𝑛→∞
e) Leibnizkriterium:
Wenn an eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert
𝑛
die alternierende Reihe ∞
𝑛=1 −1 𝑎𝑛 .
Definition: Absolute Konvergenz
Eine Reihe ∞
𝑛=1 𝑎𝑛 ist absolut konvergent,
wenn ∞
𝑛=1 |𝑎𝑛| konvergent ist.
Absolute Konvergenz ist ein strengeres Kriterium als Konvergenz.
Quotienten- und Wurzelkriterium zeigen absolute Konvergenz,
das Leibniz-Kriterium nicht.
18
3.2.2 Divergenzkriterien
Eine Reihe
∞
𝑛=1 𝑎𝑛
divergiert, wenn
a). 𝑎𝑛 keine Nullfolge ist,
b) Minoranten-Kriterium:
Gilt | 𝑎𝑛 | ≥ 𝑏𝑛 und ist ∞
𝑛=1 𝑏𝑛 divergent,
so ist auch ∞
𝑛=1 𝑎𝑛 divergent.
c) Quotienten-Kriterium:
lim |
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
|>1.
d) Wurzelkriterium:
lim |
𝑛→∞
𝑛
𝑎𝑛 | > 1.
19
Hinweis
Für die Fälle
lim |
𝑛→∞
lim |
𝑛→∞
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
𝑛
|=1
𝑎𝑛 | = 1
kann keine Aussage über die Konvergenz oder Divergenz
gemacht werden.
20
3.2.3 Spezielle Reihen
Harmonische Reihe
∞ 1
𝑛=1 𝑛
1
2
1
3
1
4
1
5
= 1 + + + + + ….
Geometrische Reihe
∞
𝑛
0
1
2
3
𝑞
=
𝑞
+
𝑞
+
𝑞
+
𝑞
+ ….
𝑛=1
1
=
= |q| < 1
1−𝑞
Reihe für ln 2
𝑛+1
∞ (−1)
𝑛=1
𝑛
Reihe für
𝝅𝟐
𝟔
1
∞
𝑛=1 𝑛2
1
2
1
3
1
4
1
5
= 1 - + - + - …. = ln 2
1
4
1
9
=1+ + +
1
16
+
1
25
+ …. =
𝝅𝟐
𝟔
21
3.2.3 Spezielle Reihen
Eulersche Zahl e
Die Zahl e kann als unendliche Reihe beschrieben werden.
1
1
1
1
1
∞
∞ 1
= 𝑛=0 = 1 + 1 + + + + + ….
𝑛=1
𝑛−1 !
𝑛!
2!
3!
4!
5!
1
1
1
1
+ + +
2
6
24
120
=1+1+
= 2, 7182818…
+ ….
( Alternative Darstellung der Zahl e zu
1
𝑛
𝑙𝑖𝑚 ( 1 + )
𝑛→∞
𝑛
= e ≈ 2,7182818…. )
22
3.2.4 Potenzreihen
Potenzreihen sind Reihen der Form
∞
𝑛=0 𝑎𝑛
• 𝑥 𝑛 = 𝑎0 𝑥 0 + 𝑎1 𝑥 1 + 𝑎2 𝑥 2 +𝑎3 𝑥 3 + …
= 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 +𝑎3 𝑥 3 + … mit 𝑎𝑛 , x ∈ R.
Um eine Potenzreihe auf Konvergenz zu untersuchen, kann das
Wurzelkriterium verwendet werden.
Zuerst wird der folgende Grenzwert berechnet:
𝑛
lim | 𝑎𝑛 | = a.
𝑛→∞
Wenn a = ∞ ist, ist die Reihe divergent.
Wenn a hingegen eine endliche reelle Zahl ist, gilt
𝑛
𝑛
𝑛
lim | 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 | = lim | 𝑎𝑛 | • lim | 𝑥 𝑛 | = |x| a.
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
Gemäß des Wurzelkriteriums konvergiert die Reihe für |x| a < 1
genau dann, wenn |x| = 1 𝑎 =: r gilt.
r = 1/a wird Konvergenzradius der Potenzreihe genannt.
∞
𝑛
𝑛=0 𝑎𝑛 • 𝑥 konvergiert für |x| < a und divergiert für |x| > a. 23
Bemerkung:
Eine Sequenz von Produkten kann durch die folgende (Kurz-)
Schreibweise dargestellt werden:
𝑛
𝑎=𝑚 𝑥𝑎
= : 𝑥𝑚 • 𝑥𝑚+1 • 𝑥𝑚+2 •… • 𝑥𝑛−1 • 𝑥𝑛
24

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