Badewanne 1. Veronika lässt sich ein warmes Bad ein. In der Wanne sind schon 50 l Wasser. Pro Minute fließen weitere 30 l zu. a) Geben Sie eine Funktion an, die das Wasservolumen in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. b) Berechnen Sie, wann die Wanne 150 l enthält. Geben Sie das Ergebnis in Minuten und Sekunden an. 2. Leider ist das Wasser zu heiß, es hat 60 °C. Nach 5 Minuten ist es auf 40 °C abgekühlt. Die Temperatur im Badezimmer beträgt 20 °C. a) Die Abkühlung lässt sich durch die Funktion T(t) = TU + (T0 – TU)·e-λt darstellen (TU: Umgebungstemperatur, T0: Anfangstemperatur). Bestimmen Sie die Konstante λ. b) Berechnen Sie, wie lange es insgesamt dauert, bis das Wasser auf 30 °C abgekühlt ist. 3. Nach dem Bad lässt Veronika das Wasser aus. Das Restvolumen nach t Minuten kann durch die Funktion V(t) = a·(t – b)² dargestellt werden. Anfangs enthält die Wanne 150 l, nach 5 Minuten sie leer. a) Bestimmen Sie die Parameter a und b. b) Erklären Sie, wie Sie die durchschnittliche Ausflussgeschwindigkeit in den ersten beiden Minuten sowie die momentane Ausflussgeschwindigkeit nach 2 Minuten berechnen können. Stellen Sie diese Geschwindigkeiten auch in der Zeichnung dar. 4. Die eine Hälfte des Wannenquerschnitts wird durch den Graphen der Funktion f(x) = 0,2x³ gebildet (Maße in dm). Die andere Hälfte entsteht durch Spiegelung an der y-Achse. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Querschnitts, wenn das Wasser 30 cm hoch steht. Ergebnisse: 1. a) V(t) = 30t + 50 b) nach 3,33 min = 3 min 20 s 2. a) λ = 0,1386/min b) nach 10 min 3. a) V(0) = 150, V(5) = 0 ⇒ a = 6, b = 5 b) durchschnittliche Ausflussgeschwindigkeit: ( ) ( ) ; Steigung der Sekante durch (0/V(0)) und (2/V(2)) momentane Ausflussgeschwindigkeit: V‘(2) ; Steigung der Tangente in (2/V(2)) 4. Schnittpunkt: S(2,47/3) ∫ A2 = 2,47·3 = 7,41 A = 2·(A2 - A1) = 11 ,1 dm²