Prof. Dr. I. Steinwart Dr. R. Walker Dr. D. Zimmermann M.Sc. A. Reiswich Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik II Blatt 13 15.07.16 el, kyb, mecha, phys Gruppenübungen Die Aufgaben auf Blatt 13 zählen nicht zu den Übungskriterien. Insbesondere gibt es keine schriftlichen Abgaben oder Votierpunkte. Die Musterlösungen werden am Freitag, den 15.07.2016 von den Tutoren vorgestellt. Aufgabe 61. (a) Berechnen Sie die folgenden Integrale Z ∞ xe−x dx i) Z ii) 0 e Z (b) Berechnen Sie e2 x2 2 dx x ln(x) 1 dx. −9 (c) Bestimmen Sie alle α, β ∈ R, so dass das folgende uneigentliche Integral konvergiert. Z 1 1 dx. 2α β 0 x (2 − x) Aufgabe 62. Gegeben sei die lineare Abbildung T : R3 → R2 mit 2x + y T (x, y, z) = . y−z (a) Bestimmen Sie den Kern von T . (b) Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von T . 1 0 (c) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von T bezüglich der Basen B = , von 1 −2       1 0 0 2       0 , 2 , 1 von R3 . R und C = −1 0 1 1 Aufgabe 63. Gegeben sei f : R2 → R mit f (x, y) = x2 y − xy + y 3 . (a) Bestimmen Sie die kritischen Stellen von f und klassifizieren Sie diese. (b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Stufe von f zum Entwicklungspunkt (1, 0)> . Aufgabe 64. Gegeben sei f : R → R mit f (x) = sinh(x2 − 1) Bestimmen Sie das Taylorpolynom T3 (f, 1) dritter Stufe von f zum Entwicklungspunkt x0 = 1. Aufgabe 65. Gegeben seien v1 , v2 ∈ R4 mit v1 = (1, −1, 1, 1)> und v2 = (2, 0, 2, 1)> . Bestimmen Sie mit Hilfe des Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis (w1 , w2 ) von span(v1 , v2 ). Aufgabe 66.   1 2 3 (a) Berechnen Sie det A, wobei A = −2 1 1 . Ist die Matrix invertierbar? 4 2 0   2 6 4 (b) Es sei B = 0 −1 −2 . Bestimmen Sie die Eigenwerte von B sowie zugehörige Eigen0 3 4 vektoren. Berechnen Sie außerdem B −1 . Aufgabe 67. Führen Sie eine Hauptachsentransformation für die folgende Quadrik durch. √ √ Q = {x = (x1 , x2 )> ∈ R2 : 4x2 − 2 6x1 x2 − x22 + 2 7x1 − 3 = 0}. 2