1 Kugelfall

1
Kugelfall
Eine Steinkugel fällt aus 80 m Höhe auf den Boden.
Höhe h = 80m
J
Wärmekapazität der Kugel cp = 800 kg∗K
1.1
Geschwindigkeit
Wie groß ist ihre Geschwindigkeit beim Aufprall?
Die Gleichung für den zurückgelegten Weg eines frei fallenden (also gleichmäßig beschleunigten) Körpers lautet:
s=
g 2
∗t
2
(1)
s ist der zurückgelegte weg,
g ist die Erdbeschleunigung (g = 9.81 sm2 )und
t ist die verstrichene Zeit.
Die Gleichung für die Geschwindigkeit eines frei fallenden (also gleichmäßig
beschleunigten) Körpers lautet:
v =g∗t
(2)
wobei v die Geschwindigkeit ist.
Um also die Geschwindigkeit v zu bekommen, brauchst man also zuerst die
Fallzeit t. Die bekommen wir recht einfach aus der gleichung 1, denn wir kennen
den Zurückgelegten Weg (80m) und natürlich auf die Erdbeschleunigung. Lösen
wir diese Gleichung nach t auf, bekommen wir den Wert für t:
g 2
∗t
|∗2
|:g
2
2s
= t2
|wurzel
g
s
r
2s
2 ∗ 80m
t=
=
≈ 4, 039s
g
9.81 sm2
s=
Den setzen wir nun in die Gleichung 2 ein, und bekommen die Geschwindigkeit.
v =g∗t
m
m
v = 9.81 ∗ 4.039s ≈ 39, 62
s
s
1
1.2
Erwärmung
Um wie viel erwärmt sich die Kugel beim Aufprall, wenn die Hälfte ihrer kinetischen Energie dabei in Wärme umgewandelt wird?
Um zu wissen wie viel Energie beim Aufprall insgesamt frei wird, bräuchten
wir die Masse der Steinkugel. Diese haben wir aber nicht. Macht aber nichts,
da wir gar nicht die Energie wissen wollen, sondern um wieviel sich die Kugel
erwärmt.
Die Energie, die zum erwärmen eines gegenstandes benötigt wird kann durch
diese Formel beschrieben werden
Q = cp ∗ m ∗ ∆T
(3)
Q ist die benötigte Wärmeeergie,
cp ist die Wärmekapazität,
m ist die Masse die wir nicht haben und
∆T ist die Temperatur um die sich das Objekt erwärmt.
Lösen wir diese Gleichung nach ∆T auf, das ist das was uns eigentlich interessiert:
Q = cp ∗ m ∗ ∆T
| : cp
∆T =
|:m
1 Q
∗
cp m
(4)
So, jetzt hätten wir es fast. Allerdings fehlen uns sowohl Q, als auch m!
Macht nichts, denn wir haben noch einen Ass im Ärmel.
Die Gleichung für Potenzielle Energie Epot ist
Epot = m ∗ g ∗ h
(5)
Wenn wir sagen, dass die hälfte der potenziellen Energie in Wärmeenergie
umgewandelt werden soll, kann das nur heißen:
Q=
1
∗ Epot
2
oder auch
und wenn das gilt, gilt nach Gleichung 5 auch
1
1
∗ Epot = m ∗ g ∗ h
2
2
Wozu das jetzt? Ganz einfach durch m dividieren, dann seht ihr es.
Q=
Q=
1
m∗g∗h
2
1
Q
= g∗h
m
2
|:m
Q
Alles klar? Jetzt brauchen wir nur noch den Ausdruck m
in die Gleichung
4 einzusetzen, und schon bekommen wir unsere Temperaturveränderung:
2
∆T =
∆T =
1 Q
1 1
∗
=
∗ g∗h
cp m
cp 2
1
1
m
∗ ∗ 9.81 ∗ 80m = 0.4905K
J
2
s
800 kg∗K
3

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