Gleichung nten Grades

Die Quadratische, Kubische und Quartische Gleichung
Die allgemeine Gleichung N-ten Grades lautet p( x )≡ x
N
e1 x
n 1
+e2 x
N 2
e3 x
N 3
+e4 x
N 4
...=0. Die
Gleichungen mit Grad ≤ 4 lassen sich analytisch lösen. Allerdings wird die Lösung mit zunehmendem
Grad auch zunehmend undurchsichtig. In der Praxis ist die Formel für die kubischen Nullstellen noch
akzeptabel, die Formel für die quartischen Nullstellen dagegen unbrauchbar.
Im Folgenden drücken wir die Koeffizienten e1, e2, e3, e4... durch statistische Grössen der Nullstellenmenge {x1...xN} aus: zuerst durch die Momente µk, dann durch die Kumulanten κk, und schliesslich
durch die Grössen µ (Mittelwert), σ (Standardabweichung), γ1 (Schiefe), γ2 (Kurtosis) ...
(Definitionen siehe Appendix.)
N
Gemäss dem Fundamentalsatz der Algebra ist p( x ) =Π1 ( x x n ). Durch Ausrechnen findet man
N
N
N
e1= ∑1 x n=N µ 1 , e2= ∑1 ∑1 [m<n ] x m x n=
N
N
N
N
N
N
e3= ∑1 ∑1 ∑ 1 [l<m< n] x l x m x n=
(
)
2
N
N 2
µ2
µ1 ,
2
2
2
3
N
N
N 3
µ3
µ 2 µ 1+
µ1 ,
3
2
6
N
e4= ∑1 ∑1 ∑ 1 ∑1 [k <l<m<n] x k x l x m x n =
(
2
2
3
)
4
N 2 N
N
2
N 4
N
µ4
µ2
µ 3 µ 1+
µ2 µ1
µ1 .
4
8
3
4
24
Die allgemeine Gleichung N-ten Grades kann also formal so geschrieben werden:
N
x =N µ1 x
oder
N 1
+
(
) (
2
) (
) (
)
3
N
2
N
3N
N 3 N 3 N
N 2 4N
2
N 4 N
N 2
2
µ2 N µ1 ) x
+
µ3
+
µ4
µ2 µ1+
µ1 x
µ2
µ 3 µ 1+N µ 2 µ 1
µ1 x
(
2
3
2
2
4
2
3
6
(
N
µ2
x
N 1
=µ 1 x +
N
2
N 2 N 2 µ3
µ x
+
2 1
3
2
N
N 3 N 3 µ4
µ 2 µ 1+
µ x
+
2
6 1
4
2
3
)
N 2 N
N
N 4 N 4
2
µ2
µ 3 µ1 + µ 2 µ 1
µ x
... .
8
3
4
24 1
Aus dieser Gleichung zieht man µ=µ1.
Nun zentriert man die Nullstellen mit x=µ+y . Die formale Gleichung für die Nullstellen yn
2
erhält man, indem man oben x → y und µ 1 → 0, µ 2 → κ2, µ 3 → κ3, µ 4 →κ4 +3κ 2 ersetzt:
N
y =
( ( ))
N
N
N
N 2
N 3
κ y + κ3 y +
κ +3
2 2
3
4 4
N 2 N
κ y
2 2
4
( ( ))
yN κ2 N 2 κ3 N 3 κ4
3 N 2 N
= y + y +
+
κ y
N 2
3
4
4 8 2
... oder
4
... .
Aus dieser Gleichung zieht man σ=√ κ 2.
Schliesslich normiert man die Streuung der Nullstellen auf 1 mit y=σ z. Die formale Gleichung für
die Nullstellen zn erhält man, indem man oben y → z und κ2 → 1, κ3 → γ1, κ 4 → γ2 ersetzt:
N
z =
(
N n 2 N
N
n 3
z + γ1 z +
γ +3
2
3
4 2
)
N N
z
2
4
... oder
(
z N 1 n 2 γ1 n 3 γ2+3
= z + z +
N 2
3
4
)
N N
z
8
4
... .
Jetzt schauen wir diese Gleichungen an für N = 2, 3, 4 und κ2 ≠0.
Quadratische Gleichung: x =2 µ 1 x+( µ2 2µ 1) und y =κ 2 und z =1.
2
2
2
2
Die Lösungen "rückwärts" lauten z± =±1 und y ±=±σ und x ±=µ±σ.
Beispiel: x2 = 6 x + 5 → µ = 3 → y2 = 14 → σ = √14 → z2 = 1 → z = ±1 → y = ±√14 → x = 3±√14.
1
4
...
Kubische Gleichung:
3
2
x =3 µ1 x +
3
(µ2 3 µ21 ) x+µ3 92 µ2 µ1+ 92 µ31 und y 3= 32 κ2 y+κ3 und z3 = 32 z+γ1 .
2
Die Lösungen "rückwärts" lauten (n = −1, 0, +1)
z n= √ 2 cos
z n=
1
√2
1
arccos( √ 2 γ1 )+2 π n
3
(
∑± √ √ 2 γ1 ±√ 2 γ21
3
1 cis±
)
2
(Casus Irreducibilis, für γ1 reell und γ1 ⩽1/2), oder
2πn
2
(Casus Reducibilis, für γ1 reell und γ1 ⩾1/2),
3
und dann y n =±σ z n und x n =µ±σ z n .
Beispiel: x3 = 6 x2 + 12 x − 8 → µ = 2 → y3 = 24 y + 32 → σ = 4 → z3 = 1.5 z + 0.5 → γ1 = 0.5 →
z n=√ 2 cos π
(
2n 1
+
3 12
)
→ z = √ 2cos
π
7π
3π
=1.3660 , z+ =√ 2cos
= 0.3660 , z0 = √ 2 cos
= 1
12
12
4
→ y = 1.4641, y 0 =5.4641 , y += 4 → x =0.5359, x 0=7.4641 , x += 2.
Quartische Gleichung:
x =4 µ 1 x +2 ( µ2 4µ 1 ) x +
4
3
4
2
y =2 κ 2 y +
2
2
(
)
4
32 4
2
µ µ +16µ2 µ1
µ
(µ 6 µ2 µ1 +8 µ31) x+ µ4 2 µ22 16
3 3
3 3 1
3 1
und
4
4
2
N 4
4
2
κ3 y+ ( κ4+κ 2) y
... und z =2 z + γ 1 z+( γ2 +1 ) .
3
3
Die Lösungen "rückwärts" lauten z n=±√ t 1 ±√ t 2±√ t 3 und dann y n =±σ z n und x n =µ±σ z n .
3
Hier sind t1, t2, t3 die Lösungen von t =t
2
( 1/2+γ
/4 ) t +γ1 /36. Von den 8 möglichen Vorzeichen2
2
Kombinationen sind 4 richtig, nämlich +++, +−−, −+−, +−− oder −−−, −++, +−+, −++.
Die analytische Lösung ist in der Praxis zu kompliziert, daher verzichten wir auf ein Beispiel.
Appendix: Definitionen einiger statistischer Grössen
1
N
k
Gegeben sei eine Zahlen-Menge {x1...xN}. Definition: k-tes Moment µ k=N Σ1 x n; Mittelwert
1 N
2
3
2
2
4
µ=µ1 =N Σ1 ; Kumulanten κ1 =µ1, κ2 =µ2 µ 1, κ3 =µ3 3 µ 2 µ 1+2 µ1, κ 4=µ4 3µ 2 4 µ 3 µ 1+12µ 2 µ 1 6 µ1;
Standardabweichung σ=√ κ 2; Schiefe γ1 =κ3 κ 2
1.5
3
2
4
=κ3 σ ; Kurtosis γ2 =κ4 κ 2 =κ2 σ .
(Herbert E. Müller, Juli 2016, herbert-mueller.info)
2

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