27. Juni 2016

Prof. Dr. S. Dietrich
Dr. M. Bier ([email protected])
M.Sc. H. Bartsch
M.Sc. N. Farahmand Bafi
Dr. M. Gross
M.Sc. M. Labbé-Laurent
M.Sc. A. Reindl
Dr. C. Rohwer
Theoretische Physik I: Klassische Mechanik
SoSe 2016
11. Übungsblatt (http://www.is.mpg.de/dietrich/lehre/TP1 16)
27. Juni 2016
35. Trajektorien in einer Raumdimension
Ein punktförmiges Teilchen der Masse m bewege sich im eindimensionalen Raum im externen Potential
A
U(x) = −
,
A, b > 0.
(1)
1 + (x/b)2
(a) Warum ist die Energie E eine Erhaltungsgröße?
(b) Skizzieren Sie U(x). Für welche Energie E sind Trajektorien möglich? Skizzieren Sie
das Phasenportrait (x-ẋ-Diagramm).
(c) Berechnen Sie die inverse Trajektorie t(x) mit Hilfe der in der Vorlesung hergeleiteten
Beziehung
Zx
dx̃
(2)
t(x) = t(x0 ) ± q
2
(E − U(x̃))
m
x0
für die Anfangsbedingungen x0 = −R, E = 0. Skizzieren Sie die Trajektorie x(t) und
diskutieren Sie das Verhalten für t → ∞.
(d) Zeigen Sie, dass der Massenpunkt bei gleicher Startposition x0 = −R für negative
Energie E < 0 periodische Schwingungen um den Nullpunkt ausführt. Wo liegen die
Umkehrpunkte? Berechnen Sie das asymptotische Verhalten der Periodendauer T (E)
dieser Schwingung für E ր 0.
36. Bahnkurven in zwei Raumdimensionen
Ein punktförmiges Teilchen der Masse m bewege sich im zweidimensionalen Raum im
externen Potential U(r), wobei r = |rr |, r ∈ R2 .
(a) Zeigen Sie, dass für die Bahnkurve r(ϕ) die Beziehung r ′ (ϕ(t)) =
Sie die folgende Gleichung für die inverse Bahnkurve ϕ(r) her:
Z r
dr̃
ϕ(r) − ϕ(r0 ) =
.
′
r0 r (ϕ(r̃))
ṙ(t)
gilt und leiten
ϕ̇(t)
(3)
Fortsetzung auf Seite 2
1
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe von Gleichung (3) die Bahnkurven r(ϕ) für U(r) = αr 2 mit
α = mω 2 /2 > 0.
Z
dx
bx − 2
√
√
Prüfen und verwenden Sie
= arcsin
.
x ax2 + bx − 1
x 4a + b2
(c) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für das Potential U(r) aus Aufgabenteil (b) in
kartesischen Koordinaten und vergleichen Sie die Bahnkurven mit Ihren Resultaten
aus Aufgabenteil (b).
37. Kegelschnitte
Betrachten Sie eine Kurve K in der xy-Ebene, die in Polarkoordinaten (r, ϕ) ∈ [0, ∞) ×
[0, 2π) mit x = r cos ϕ, y = r sin ϕ der Gleichung
r(ϕ) =
ℓ
,
1 + ε cos ϕ
(4)
genügt, wobei ℓ, ε > 0 vorgegebene Konstanten sind.
(a) Bestimmen Sie den minimalen und den maximalen Abstand von K zum Ursprung rmin
bzw. rmax .
(b) Betrachten Sie zunächst den Fall ε = 1. Zeigen Sie, dass jeder Punkte auf K vom
Ursprung genau so weit entfernt ist wie von der Geraden mit der Gleichung x = ℓ.
Somit ist K die Parabel mit dem Ursprung als Brennpunkt und der Geraden mit der
Gleichung x = ℓ als Leitgerade.
Zeigen Sie, dass im Fall ε = 1 die Punkte (x, y) ∈ K der Gleichung
ℓ
= cy 2
2
genügen und bestimmen Sie c als Funktion von ℓ.
x−
(5)
(c) Betrachten Sie nun den Fall ε 6= 1. Berechnen Sie für einen beliebigen Punkt auf
K mit Abstand r vom Ursprung den Abstand s(r) dieses Punktes vom Punkt B :=
2ℓε
−
, 0 als Funktion von r. Beachten Sie dazu, dass Sie die Fälle ε < 1 und
1 − ε2
ε > 1 unterscheiden müssen.
Zeigen Sie, dass im Fall ε < 1 die Summe r + s(r) und im Fall ε > 1 die Differenz
r − s(r) eine von r unabhängige Konstante ist.
Somit ist K im Fall ε < 1 eine Ellipse und im Fall ε > 1 eine Hyperbel mit dem
Ursprung und Punkt B als Brennpunkten.
Zeigen Sie, dass im Fall ε ≶ 1 die Punkte (x, y) ∈ K der Gleichung

ℓε 2
x+

1 − ε2  ± y 2 = 1
(6)


a
b
genügen und bestimmen Sie a und b als Funktionen von ℓ und ε.
(d) Im Fall ε < 1 werden a und b große bzw. kleine Halbachse genannt. Drücken Sie den
Abstand der Brennpunkte durch die große Halbachse a und die Exzentrizität ε aus.
(e) Bestimmen Sie im Fall ε > 1 die beiden Asymptoten für r → ∞ sowie deren Schnittpunkt.
2

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