Tutoriumsblatt 2

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
D. Rost
SS 2016
Blatt 2
25.4.2016
Tutorium zur Vorlesung
Mathematik im Querschnitt“
”
1. (Frühjahr 2004, Thema 1, Aufgabe 4)
Im euklidischen R3 seien die vier Punkte O = (0, 0, 0), A = (12, 0, 0), B = (0, 3, 0) und
C = (0, 0, 12) gegeben.
a) Man ermittle den Flächeninhalt des Dreiecks ABC und das Volumen des Tetraeders OABC.
b) Man bestimme den Mittelpunkt M (a, b, c) und den Radius r > 0 einer Kugel Σ
mit den folgenden drei Eigenschaften:
• M liegt im ersten Oktanten, d.h. a > 0, b > 0, c > 0.
• Σ berührt jede der drei Geraden OA, OB und OC.
• Σ berührt die Ebene ABC.
Wieviele solcher Kugeln Σ gibt es?
2. a) Skizzieren Sie die Ellipse E mit der Gleichung
x2 y 2
+
=1
25
9
und bestimmen Sie ihre Scheitel und ihre Brennpunkte.
b) Skizzieren Sie die Hyperbel H mit der Gleichung
x2 y 2
−
=1
16
9
und bestimmen Sie ihre Scheitel, ihre Brennpunkte und ihre Asymptoten.
( )
5
c) Bestimmen Sie y0 , so daß der Punkt P0 =
auf der Hyperbel H liegt, und
y0
geben Sie die Gleichung der Tangente an H im Punkt P0 an.
3. Seien a, b > 0 und
sowie E := {
(x )
y
{( )
}
2
y2
x
2 x
Q=
∈ R | 2 + 2 = 1 ⊂ R2 ,
y
a
b
∈ R2 | y > 0}.
a) Zeigen Sie, daß Q ∩ E der Graph Gg der diﬀerenzierbaren (!) Funktion
√
x2
g : ] − a, a[ −→ R, g(x) = b · 1 − 2 ,
a
ist und bestimmen Sie die Ableitung g ′ (x), x ∈] − a, a[.
b) Sei P0 =
(x 0 )
y0
∈ Q ∩ E. Zeigen Sie, daß sich die Gleichung der Tangente
y = g ′ (x0 ) · (x − x0 ) + g(x0 )
im Punkt P0 an den Graphen Gg in der Form
x 0 x y0 y
+ 2 =1
a2
b
schreiben läßt.
4. (Frühjahr 2008, Thema 1, Aufgabe 2)
Es seien a, b ∈ R mit a ̸= 0 und b ̸= 0. Die Hyperbel im R2 mit der Gleichung
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
hat bekanntlich die Asymptoten mit den Gleichungen
g1 : y =
b
·x
a
und
b
g2 : y = − · x.
a
a) Man berechne die Abstände des Punktes P = (x0 , y0 ) ∈ R2 zu den beiden
Asymptoten.
b) Man zeige, daß für alle Punkte P auf der Hyperbel das Produkt dieser beiden
Abstände gleich ist.
Für die Tutorien vom 25. und 28.4.16

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