下の図のような 4ABC と 4DEF があります。相似比は a : b である。このとき, 面積比
が a2 : b2 となることを証明してみましょう。
n
D
ah
bh
B
C
am
E
bm
F
以下三角形限定で証明させていただきます。a, b を自然数, m, h を正の数とし相似比が a : b
の三角形の底辺である辺 BC, EF をそれぞれ am , bm, 頂点 A, D から底辺におろした高さ
を ah, bh とおく。(注：相似比が a : b ということは高さの関係も相似なのでその比は a : b
とおける) ここで 4ABC, 4DEF の面積をそれぞれ S1 , S2 とおくと,
S1 = 1 × am × ah
2
2
= a mh
2
S2 = 1 × bm × bh
2
2
= b mh
2
よって面積比 S1 : S2 は
a2 mh : b2 mh = a2 : b2 従って, 相似比が a : b の三角形の面積比は a2 : b2 である。三角
2
2
形なら, 直角二等辺三角形が証明としてはやりやすい。また正方形や円を証明に用いれば,
もっとすっきりする。他の多角形の場合はおそらく, 三角形の組み合わせで証明できるん
じゃないの？ということで今回三角形に特化して証明しました。
1
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