11 無理関数の不定積分

微積分学及演習 I のおと
応化 B［金 3 · 4 限（海老原）］
第 11 講義 (2015/6/26)
問 11.3. ［］内の置換を利用することにより，
次の積分公式を証明せよ．但し，a > 0 とする．
無理関数の不定積分
11
教科書 pp.127 − 130
■無理関数
ルートのついた関数を無理関数と
∫
√
(1)
∫
√
(2)
いう．ルートの中身は負にならないという制限
が自動的につくことに注意すること．
■基本置換積分
被積分関数にルートを含む場
合には，原則として
1
x2 + a2
1
x2 − a2
[x = a sinh t]
dx
dx
(x > a)
[x = a cosh t]
■無理関数の積分（発展置換積分）
1. 被積分関数に
√
ax2 + bx + c を含み a > 0
の場合には，
t=
• ルートをまるごと t とおく
√
√
ax2 + bx + c + a x
と置くとうまくいくことがある．
ことを考える．または，
• ルートの中身を t とおく．
2. 被積分関数の中身が
a(x − α)(x − β) のよ
うに因数分解でき，a < 0 の場合には，
√
t=
としてもうまくいくことが多い．
11.1. 次の不定積分を求めよ．
問 ∫ √
x
(1)
dx
1− x
∫
6x2
(2)
dx
√
2x3 − 5
∫
1
(3)
√
√ dx
x+ 3 x
√
x−α
β− x
と置くとうまくいくことがある∗ ．
√
√
a(x − α)(x − β) = −a (β − x)
√
x−α
β− x
| {z }
t とおく！
√
問 11.4.
x2 + A = x − t と置換することによ
り，次の公式を導け
■無理関数の積分（変形して基本形へ）
∫
√
1.
1
1 − x2
dx = sin−1 x + C
∫
√
1
x2 + A
√
dx = log x + x2 + A + C
11.5. 次の不定積分を求めよ．
1
x
問 2.
dx = sin−1 + C (a > 0)
√
∫
a
a2 − x2
1
(1)
dx
√
∫
√
2
1
x
x
−
2x
−
5
3.
dx = log x + x2 + A + C (A , 0)
√
∫
x2 + A
1
(2)
dx
√
2
x 1 + x2
11.2. 次の不定積分を求めよ．
問 ∫
x
11.6. 次の不定積分を求めよ．
e
問 (1)
dx
√
∫ √
1 − e2x
x−1
∫
dx
(1)
1
2
−x
(2)
dx
√
∫
4x − x2
x
∫
(2)
dx
√
1
(x
−
a)(b
−
x)
(3)
dx
√
x2 − 2x − 5
∫
∗
a > 0 の場合には場合分けが必要になる．
(A , 0)
■【発展問題】
∫ √
11.7. I B
a2 − x2 dx
問 (a > 0) について，
以下の問いに答えよ．
(1)
√
√
a2 − x2 = 1 × a2 − x2 とみて部分積分法
を用いることにより，I を計算せよ．
(2) x = a sinh t と置換することにより I を計
算せよ．
∫
1
dx について，以下の
問 11.8.
√
5 − 4x − x2
問いに答えよ．
(1) 5 − 4x − x2 =
√(5 + x)(1 − x) のように因数分
5+ x
解して t =
とおいて積分せよ．
1− x
(2) 5 − 4x − x2 = 9 − (x + 2)2 であることを用
いて積分せよ．
(3) (1), (2) の結果が，定数を除いて一致する
ことを示せ．

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