1 ある製品が工場 A，B，C で大量生産されている．この製品はそれぞれの工 2 場で作られた後，検査場に集められ，まとめて製品検査が行われている．工 (1) r を正の整数とするとき，n Cr = 場 A，B，C でそれぞれ 1%，2%，3% の不良品が含まれるとき以下の問いに答えよ． 1 1 1 ，， 4 2 4 とするとき，検査場では何 % の不良品が含まれることになるか求めよ． (1) 工場 A，B，C それぞれで作る製品数の，全体に対する割合を n を自然数（ n = 1; 2; Ý ）とするとき，以下の問いに答えよ． n¡1 Cr + n¡1 Cr¡1 (n > r > 0; r = 1; 2; Ý; n ¡ 1) が成り立つことを示せ． (2) a; b を整数とするとき，次式が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ． n P n¡r r (a + b)n = b n Cr a r=0 (3) 任意の自然数 n に対して，n(n 100 ¡ 1) は 101 で割り切れることを数学的帰納法を用いて示せ．ただし，101 Cm (m = 1; 2; Ý; 100) は 101 で割り切 (2) (1) の場合に，製品検査時に 3 個を無作為に選んだとき，その中に不良品れることを利用してもよいものとする．が含まれている確率を求めよ． (3) 工場 A，B，C それぞれで作る製品数の，全体に対する割合を a; b; c と 1 する（ a + b + c = 1 ）．地理的な条件のために a; b; c が c ¡ b ¡ = 40 3 3 ; #a ¡ ; を満たす必要がある．この条件の下で，全体的な不 2 #a + 10 10 良品の出る確率を最小にするような a を求めよ．（愛知県立大学 2006 ） 3 （愛知県立大学 2006 ） P=' ¡3 ¡12 2 8 ?，Q = ' 問いに答えよ． ¡4 0 1 ¡1 ? とし，n を自然数とする．以下の (1) X = PX + Q を満たす 2 次の正方行列 X を求めよ． (2) Pn を求めよ． (3) A1 = ' ¡5 ¡2 0 2 ?，k = 1; 2; Ý に対し，Ak+1 を Ak+1 = PAk + Q で定める．n = 2 に対し，An を n を用いて表せ．（愛知県立大学 2006 ） 4 B p p 方程式 x + 2y = 2 (0 5 x 5 2; 0 5 y 5 1) で表される曲線を C とする．また，曲線 C 上で x 座標が p (0 < p < 2) である点における接線を ` とする．以下の問いに答えよ． (1) 接線 ` が x 軸，y 軸と交わる点をそれぞれ p を用いて表せ． (2) 曲線 C と接線 `，および x 軸，y 軸で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ．（愛知県立大学 2006 ）