基礎物理学 Ia 演習問題 II 回転運動と角運動量問 1 力学ではいろいろな力の影響を受けて運動する物体が取り扱われるが、多くの力の中でも保存力と中心力は特に重要である。物体がこの保存力、または中心力を受けて運動するとき、その運動にどのような特徴が現れるかについて簡潔に述べよ。 1. 保存力を受けて運動するとき 2. 中心力を受けて運動するとき問 2 以下の問いに答えよ。 1. 2 つのベクトル A と B の外積 C を C = A × B と表す。C の成分を C = (Cx , Cy , Cz ) と表したとき、成分 Cx を A = (Ax , Ay , Az ) と B = (Bx , By , Bz ) の成分を用いて表せ。 2. 物体の原点 O についての座標を r とし、この物体に作用する力を F としたとき、力のモーメント N (または、トルクと呼ぶ) の定義をベクトル積を用いて表せ。問 3 2 次元 xy-平面上で、ある原点の周りを運動する質量 m の粒子の座標が、x(t) = r cos ωt, y(t) = r sin ωt、で与えられる場合について、以下の問いに答えよ。 1. 速度ベクトル (vx , vy ) の時間変化を求めよ。 2. 角運動量の z 成分 Lz を、座標と速度 vx , vy を用いて表せ。 3. 角運動量 Lz の時間変化を求めよ。問 4 回転運動に関係する角運動量について、以下の問いに答えよ。 1. ある原点 O についての座標ベクトルを r とし、運動量を p を用いて表したとき、角運動量 L をベクトル積を用いて表せ。 2. 座標位置 r の物体に作用する力を F としたとき、トルク N の定義について述べよ。N を用い、角運動量の時間変化を記述する運動方程式を示せ。 3. 3 次元空間の xy 平面上で質量 m の物体が角周波数 ω で等速回転運動をする場合、座標ベクトル r(t) は、(r cos ωt, r sin ωt, 0) と表される。速度ベクトル v(t) = (vx , vy , vz ) を時間の関数として求め、これが座標ベクトルと直交することを示せ。また、角運動量ベクトルの向きと大きさを答えよ。ベクトルの各成分の値を答えてもよい。ただし、r は正の定数とする。問 5 質量 m の重りが長さ ℓ のひもに吊り下げられた振子 (下図) について、以下の問いに答えよ。図に示すように鉛直下向きを x 軸、水平方向を y 軸とし、これらに垂直な方向として z 軸を定義する。また重力加速度を g とする。以下の問いに答えよ。 1. ひもと鉛直方向の成す角度が θ のとき、重りの位置座標 x, y を角度変数 θ を用いて表せ。さらに、xy 面上の速度 vx , vy を時間変化する角度変数 θ(t) を用いて表せ。 2. 前問の解を利用し、角運動量 Lz (t) の時間変化を θ を用いて表せ。 3. 重りに作用するトルクの z 軸成分の値を求めよ。 4. 振子の運動を記述する微分方程式を求めよ。 y ℓ θ m x 問 6 以下の文章中の (a) から (e) の欄内に入る適切な語句、又は式を答えよ。力 F の影響を受けた物体の運動は、ニュートンの第 2 法則を用いて数学的に記述できる。この法則は、運動量 p の時間変化について、 (a) の形に表される。摩擦などがなく、物体に作用する力が、保存力の場合には、 (b) 則が成り立つ。万有引力のように、2 つの物体のそれぞれの座標を r1 , r2 としたとき、これらの間に働く力のポテンシャルエネルギーが v(r1 − r2 ) の形で表されるとき、作用反作用の力が働く。このような力を (c) と言う。これ以外の他の力が存在しない場合、この系の (d) は保存する。ある点の周りを回転運動する物体の角運動量が保存するのは、この物体の受ける力が (e) の場合である。問 7 3 次元空間内の xy 平面上で、質量 m の物体が原点 O の周りで回転運動を行っている。その場合の平面座標の時間変化が極座標 r(t), θ(t) を用いて x(t) = r(t) cos θ(t), y(t) sin θ(t) と表されるとしたとき、以下の問いに答えよ。 1. 速度の平面成分 vx (t), vy (t) を r(t), θ(t) 及びそれらの時間に関する導関数を用いて表せ。 2. 角運動量の z 成分 Lz を、極座標の変数を用いて表せ。 Page 2