微分積分 I 及び演習記号と数列

微分積分 I 及び演習記号と数列 (2016/4/8)
よく用いる記号
○ 記号 (集合の記号)
a ∈ A · · · a が集合 A の要素 (元) である. (A 3 a と書くこともある.)
a∈
/ A · · · a が集合 A の要素 (元) ではない. (A 63 a と書くこともある.)
A ⊂ B · · · 集合 A が集合 B に含まれる. (B ⊃ A と書くこともある.)
A ∪ B = {x| x ∈ A または x ∈ B} · · · 集合 A と集合 B の和集合.
A ∩ B = {x| x ∈ A かつ x ∈ B} · · · 集合 A と集合 B の共通部分.
A \ B = {x| x ∈ A かつ x ∈
/ B} · · · 集合 A と集合 B の差集合.
∅ · · · 空集合
○ 記号 (自然数, 実数)
N = {1, 2, 3, . . .} · · · 自然数全体の集合
Z = {0, ±1, ±2, . . .} · · · 整数全体の集合
Q = {m
n | m, n ∈ N かつ n 6= 0} · · · 有理数全体の集合
R · · · 実数全体の集合
○ 記号 (不等号)
a ≤ b, a 6 b · · · a 5 b と同じ.
a ≥ b, a > b · · · a = b と同じ.
○ 記号 (区間)
a < b となる実数 a, b に対して, 次のように定める. これらを総称して区間という.
[a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b} · · · (有界な) 閉区間
(a, b) = {x ∈ R| a < x < b} · · · (有界な) 開区間
[a, b) = {x ∈ R| a ≤ x < b} · · · (有界な) 半開区間
(a, b] = {x ∈ R| a < x ≤ b} · · · (有界な) 半開区間
(注意: 端点が含まれない場合は丸括弧が使われ, 端点が含まれる場合は角括弧が使われる.)
また, 上の区間の記法において, 右括弧が丸括弧の場合は b = +∞ と書くことも許し, 左括弧が丸括
弧の場合は a = −∞ と書くことも許すことにする.
(a, +∞) = {x ∈ R| x > a} · · · (非有界な) 開区間
[a, +∞) = {x ∈ R| x ≥ a} · · · (非有界な) 閉区間
(−∞, b) = {x ∈ R| x < b} · · · (非有界な) 開区間
(−∞, b] = {x ∈ R| x ≤ b} · · · (非有界な) 閉区間
(−∞, +∞) = R · · · 実数全体
1
○ 記号 (ゆえに, なぜならば)
∴ · · · ゆえに, よって, したがって
∵ · · · なぜならば
○ 定義 (有界集合)
A ⊂ R について，A のどの要素よりも大きな実数 (小さな実数) があるとき，A は上に有界 (下に有
界) という．上にも下にも有界であるとき，単に有界であるという．
数列
○ 定義 (数列)
各自然数 n に数 an を対応させたものを {an } と書き，数列という．
○ 定義 (数列の収束)
数列 {an } において, 自然数 n を限りなく大きくするとき, an が一定の値 α に限りなく近づくなら
ば, 数列 {an } は α に収束するという. また {an } が α に収束するとき
lim an = α
n→∞
と表し, この α を {an } の極限値という.
○ 定義 (数列の発散)
数列 {an } が収束しないとき，発散するという．とくに，自然数 n を限りなく大きくしたとき, {an }
が限りなく大きくなる (小さくなる) 場合，数列 {an } は正 (負) の無限大 ∞(−∞) に発散するという．
lim an = ∞ (−∞).
n→∞
○ 定義 (単調数列)
数列 {an } が単調増加 (単調減少) であるとは，
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ . . .
(a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ . . .)
をみたすときをいう．単調増加数列と単調減少数列を併せて単調数列という．
◎ 性質 (極限値の性質)
lim an = α, lim bn = β とする．次が成り立つ.
n→∞
(1)
(2)
n→∞
lim {kan + lbn } = kα + lβ
n→∞
(但し k, l は定数).
lim {an bn } = αβ.
n→∞
(3) β 6= 0 ならば
an
α
= .
n→∞ bn
β
lim
◎ 性質 (はさみうちの原理)
an ≤ bn ≤ cn , lim an = lim cn = α とする．このとき lim bn が存在し, lim an = α となる．
n→∞
n→∞
n→∞
2
n→∞

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