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微分の近似値
Copyright(c) 2007 宮田明則技術士事務所
1
微分の近似値
y
(0)微分の定義(右図参照)
d y d f (x )
=
y=f(x)
y+Δy=f(x+ Δx)
y-Δy=f(x- Δx)
dx
dx
Δy
f ( x + Δx ) − f ( x )
= lim
= lim
L①
Δx →0 Δx
Δx → 0
Δx
(1)微分の近似値 (その1 )
①式で、lim の部分を、「できるだけ
O
x-Δx
Δx → 0
x+Δxx
拡大図
小さい Δx をとる」ことで代行する。
d y Δy f ( x + Δx ) − f ( x )
L②
=
≈
Δx
d x Δx
(2)微分の近似値 (その 2 )
x
Δy
拡大図
=f(x+ Δx)- f(x)
Δx=(x+ Δx)-x
①式の連続 2区間の平均値を取る。
Δy=f(x)- f(x- Δx)
d y f ( x + Δx ) − f ( x − Δx )
≈
2 Δx
dx
Δx=x-(x- Δx)
これは、次のようにして得る。
拡大図
1 ⎧⎛ Δy ⎞ ⎛ Δy ⎞ ⎫ 1 ⎡ ⎧ f ( x + Δx ) − f ( x ) ⎫ ⎧ f ( x ) − f ( x − Δx ) ⎫⎤
⎬+⎨
⎬⎥
⎨⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎬ = ⎨
2 ⎩⎝ Δx ⎠1 ⎝ Δx ⎠ 2 ⎭ 2 ⎢⎣ ⎩
Δx
Δx
⎭ ⎩
⎭⎦
Δy1+Δy2
f ( x + Δx ) − f ( x − Δx ) f ( x + 2 Δx ) − f ( x ) f ( x ) − f ( x − 2 Δx )
≈
=
≈
L③
x-Δx
2Δx
x+Δx
2 Δx
2 Δx
2 Δx
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2
(2 )2次微分の近似値 (その２)
2次微分の近似値
(0)2次微分の定義 (微分の微分 )
d 2 y d ⎧ d f (x )⎫
=
d x2
⎨
⎬
dx ⎩ d x ⎭
= f ( x )を微分した関数の微分 =
y' =
d f (x )
dx
d y'
,
dx
Δx は十分小さくとるので、微分を
取る位置をずらして、 ⑤式の代わ
りに
d2 f
f ( x + 2 Δx ) − 2 f ( x + Δx ) + f ( x )
≈
d x2
(Δx )2
f ( x ) − 2 f ( x − Δx ) + f ( x − 2 Δx )
L⑥
≈
2
(Δx )
と書くこともできる。
Δy '
1
d2y
3次微分の近似値
{
=
=
lim
lim
y ' (x + Δx ) − y ' ( x )}
2
Δx → 0 Δx
Δx → 0 Δx
dx
3
2
1 ⎧ f ( x + Δx ) − f ( x ) f ( x ) − f ( x − Δx ) ⎫ d f = d ⎧⎨ d f ⎫⎬
= lim
−
⎨
⎬ d x3 d x ⎩ d x2 ⎭
Δx →0 Δx
Δ
Δ
x
x
⎩
⎭
f (x + 2 Δx ) − 2 f (x + Δx ) + f (x )
f ( x + Δx ) − 2 f ( x ) + f ( x − Δx )
≈
3
= lim
L④
2
(
)
Δ
x
Δx → 0
(Δx )
f (x + Δ x ) − 2 f (x ) + f (x − Δ x )
−
(Δ x )3
(1)2次微分の近似値
f (x + 2 Δx ) − 3 f (x + Δx ) + 3 f (x ) − f (x − Δx )
≈
④式で、lim の部分を、「できるだけ
Δx → 0
(Δ x )3
小さい Δx をとる」ことで代行する。
f ( x + 3Δ x ) − 3 f ( x + 2 Δ x ) + 3 f ( x + Δ x ) − f ( x )
≈
3
d y ' Δy ' f ( x + Δx ) − 2 f ( x ) + f ( x − Δx )
(
Δx )
⑤
=
L
≈
d x Δx
(Δx )2
L⑦
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