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数学解析問 No.3
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(2015 年 4 月 27 日出題)
氏名
a > b > 0 を満たす a, b に対して、

 a1 = a, b1 = b,
√
a + bn
 an+1 = n
, bn+1 = an bn
2
(n = 1, 2, · · · )
で数列 {an }n∈N , {bn }n∈N を定めたとき、以下の問に答えよ。
(1) {an }n∈N , {bn }n∈N はともに単調な数列であることを示せ。
(2) すべての自然数 n に対して、an+1 − bn+1 ≤ (an − bn )/2 であることを示せ。
(3) {an }n∈N , {bn }n∈N はともに収束し、極限は一致することを示せ。
(ヒント: a1 > a2 > · · · > an > an+1 > · · · > bn+1 > bn > · · · > b2 > b1 が成り立つ。)
問 3 解説この問題のテーマは「上に有界な単調増加数列は収束する」(系として「下に有界
な単調減少数列は収束する」) という定理である。
(1) まず (∀n ∈ N) an > bn > 0 が成り立つことを示す。仮定 a > b > 0 から a1 > b1 > 0 が得
られるので、n = 1 のとき成り立つ。n = k のとき成り立つと仮定すると、
(√
√ )2
ak − bk
ak + bk √
ak+1 − bk+1 =
− ak bk =
> 0.
2
2
ゆえに n = k + 1 のときも成り立つ。数学的帰納法によって、任意の自然数 n に対して
an > bn > 0.
このことを用いると
bn − an
an + bn
− an =
< 0,
2
2
(
√
√ )
√
√
an − bn > 0
bn+1 − bn = an bn − bn = bn
an+1 − an =
であるから、{an } は単調減少、{bn } は単調増加である。
(2) an > bn > 0 であるから、
(an+1 − bn+1 )−
√
√ (√
√ )
an − bn
an + bn √
an − bn
=
− an bn −
= bn − an bn = bn
bn − an < 0.
2
2
2
ゆえに
an+1 − bn+1 <
an − bn
.
2
(3) 任意の n ∈ N に対して、a1 ≥ an > bn ≥ b1 であるから、{an } は下に有界 (∵ b1 が下界)、
{bn } は上に有界 (∵ a1 が上界) である。
そのことと (1) の結果から、{an } と {bn } は収束する: (∃a, b ∈ R) lim an = a, lim bn = b.
n→∞
n→∞
a1 − b1
.
2n−1
ここから 2 つのやり方にわかれる。
一方、(2) の結果から an − bn ≤
(挟み撃ちの原理を用いる)
an > bn から、0 < an − bn ≤
a1 − b1
. 挟み撃ちの原理により、an − bn → 0 (n → ∞).
2n−1
「大きさが 0 に収束する数列で抑えられるならば、0 に収束する」を用いる
an > bn から |an − bn | ≤
(n → ∞).
a1 − b1
. n → ∞ のとき右辺は 0 に収束するので、an −bn → 0
2n−1
ゆえに a − b = 0. ゆえに {an }, {bn } は共通の極限に収束する。
an + bn
でn→∞
2
a+b
とすれば、a =
が得られるので、a = b. 問題を作ったときは、収束が十分速いことを示
2
したかったから、(2) を入れたような覚えがあるけれど、(ここから後は細かい話) 上の不等式
で示せるのはいわゆる線形収束で、本当は 2 次の収束をする (もの凄く速い) のだから、切れ
味が悪い評価だった。
反省
極限が共通であることを証明するだけなら、(2) は不要だった。an+1 =
上で使った命題を証明しておく。
命題 0.1 [大きさが 0 に収束する数列で抑えられるならば、0 に収束する] 2 つの実数列
{an }, {bn } が、(i) (∀n ∈ N) |an | ≤ bn , (ii) lim bn = 0 を満たすならば、 lim an = 0.
n→∞
n→∞
証明最初に (i) より bn ≥ 0 であることを注意しておく。
ε を任意の正数とする。(ii) より、(∃N ∈ N) (∀n ∈ N: n ≥ N ) |bn − 0| < ε. ゆえに bn < ε.
このとき |an − 0| = |an | ≤ bn < ε. ゆえに lim an = 0.
n→∞
この命題は、{an } がベクトル列でも成立し、非常にしばしば用いられるので、重要である。
(挟み撃ちの原理は有名だけれど、1 次元の場合でしか成り立たない。一方、命題 0.1 は名前も
ついていないけれど、実はとても頻繁に使われる。)

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