微分積分学および演習Ⅱ 参考資料 1 2016 年度後期 工学部・未来科学部 1 年 担当: 原 隆 (未来科学部数学系列・助教) ■全微分可能性と偏微分可能性 定義 (全微分可能性) 2 変 数 関 数 f (x, y) が 点 (x0 , y0 ) で 全微分可能 totally differentiable で あ る と は 、あ る 実 数 定 数 A 及 び B が 存 在 し て 、誤 差 関 数 ε(∆x, ∆y) = ∆f − (A∆x + B∆y) が ε(∆x, ∆y) √ =0 (∆x,∆y)→(0,0) (∆x)2 + (∆y)2 を 満 た す こ と と す る (つ ま り 、誤 差 ε(∆x, ∆y) は lim “(x0 + ∆x, y0 + ∆y) が (x0 , y0 ) に近づくスピードよりも 速く 小さくなってゆく”)。 このとき df |(x0 ,y0 ) = A dx + B dy と表し、f の (点 (x0 , y0 ) での) 全微分 total derivation と呼ぶ。 ※ ∆f は点 (x0 , y0 ) での関数 f の増分、即ち ∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) を表す 言い換えると、 babababababababababababababababababab 点 (x0 , y0 ) の非常に近くでは (つまり ∆x, ∆y が 非常に小さければ)、関数の増分 ∆f が ∆x と ∆y に関する 1 次式 ∆f ≈ A∆x + B∆y で 非常に良い精度で 近似出来る (!!!) (この近似を 1 次近似 と呼ぶ) 関数 f が点 (x0 , y0 ) で全微分可能であるならば、上記の定義で登場した ∆x, ∆y の係数 A, B は 偏微分係数 を用いて表される。 命題 2 変数関数 f (x, y) が点 (x0 , y0 ) に於いて 全微分可能 ならば、f は (x0 , y0 ) で (x でも y でも) 偏微分可能で、その (x0 , y0 ) での全微分は df |(x0 ,y0 ) = fx (x0 , y0 )dx + fy (x0 , y0 )dy で 与えられる*1 。 【証明】ここでは f が x で偏微分可能であることと、A = fx (x0 , y0 ) となることのみを示す。 y で の偏微分可能性及び B = fy (x0 , y0 ) であることも全く同様に証明出来るので、興味のある人は各自 証明を試みてみよう。 *1 つまり、全微分可能性の定義中の定数 A, B が A = fx (x0 , y0 ), B = fy (x0 , y0 ) となるということ。 f が点 (x0 , y0 ) に於いて x で偏微分可能とは、x に関する偏微分係数 fx (x0 , y0 ) = lim ∆x→0 f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∆x · · · (♣) が収束して値を定めることであった。一方で f は全微分可能であるから、ある実数定数 A, B が存 在して f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = A∆x + B∆y + ε(∆x, ∆y) ε(∆x, ∆y) √ =0 (∆x,∆y)→(0,0) (∆x)2 + (∆y)2 が成り立つ。この式 (∗) に於いて ∆y = 0 の状況を考えると、 lim · · · (∗) · · · (∗∗) f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = A∆x + ε(∆x, 0), つまり f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ε(∆x, 0) =A+ ∆x ∆x · · · (♯) が導かれる。式 (♯) の左辺は ∆x → 0 とすれば x に関する偏微分係数の定義式 (♣) そのものである ε(∆x, 0) = 0 であることさえ確認すれば、∆x → 0 としたときの (♯) の左辺の極限も ∆x→0 ∆x 存在して A と一致することが式 (♯) から簡単に従い、証明が完了する。 √ ε(∆x, 0) したがって後は lim = 0 を示せば良いが、∆x = ±|∆x| = ± (∆x)2 であることに注 ∆x→0 ∆x から、 lim 意すると ε(∆x, 0) ε(∆x, 0) lim = ± lim √ = ± lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x (∆x)2 + (0)2 ( ε(∆x, ∆y) ) lim √ (∆x)2 + (∆y)2 ∆y→0 となるので、全微分可能性の定義 (∗∗) から右辺の極限は 0 に収束する。したがって左辺の極限値 ε(∆x, 0) も存在して 0 となることが分かる。 ∆x→0 ∆x □ lim 命題 ※ ※ 2 変数関数 f (x, y) が点 (x0 , y0 ) で 全微分可能 ならば、点 (x0 , y0 ) で 連続 である。 1 変数関数の場合の「微分可能ならば連続」という性質の 2 変数関数版。 偏 微分可能 であっても 連続とは限らない (!) ので要注意!!! 【証明】 連続性の定義より lim (∆x,∆y)→(0,0) f (x0 +∆x, y0 +∆y) = f (x0 , y0 ) を示せば良い。f (x, y) は (x0 , y0 ) で全微分可能なので、全微分可能性の定義より f (x0 + ∆x, y0 + ∆y0 ) − f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y + ε(∆x, ∆y) 但し と表せるが、ε(∆x, ∆y) = √ ε(∆x, ∆y) √ =0 (∆x,∆y)→(0,0) (∆x)2 + (∆y)2 lim (∆x)2 + (∆y)2 √ (♭) で (∆x, ∆y) → (0, 0) とすると · · · (♭) ε(∆x, ∆y) (∆x)2 lim (∆x,∆y)→(0,0) (∆y)2 (∆x,∆y)→(0,0) −−−−−−−−−−→ 0 · 0 = 0 より、式 + f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) が得られる。 □ ■全微分可能性の判定条件 定義 (連続偏微分可能性) 2 変数関数 f (x, y) が定義域内で (x でも y でも) 偏微分可能で、その 偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) が (定義域内で) 連続 であるとき、f (x, y) を 連続偏微分可能関数 continuously differentiable function (或いは C 1 級関数 function of C 1 -class) と呼ぶ。 定理 ※ 連続偏微分可能関数 は 全微分可能 である。 「連続偏微分可能性」は、偏導関数を (2 つ) 求めてそれが連続であることを調べれば良いので、 全微分可能性を (誤差関数を持ち出して) 直接確認するよりも遙かに調べやすいことに注意し よう。 証明の際には、1 変数関数の 平均値の定理 を用いる (夏学期の『微分積分学および演習Ⅰ』の講 義ノート等を参照すること)。 定理 (平均値の定理 theorem of mean values) 1 変数関数が閉区間 [a, b] で連続で、(両端を除いた) 開区間 (a, b) で微分可能であるとき、 f (b) − f (a) = (b − a)f ′ (a + θ(b − a)) を満たす実数 0 < θ < 1 が少なくともひとつ存在する。 【定理の証明】 f の定義域内の点 (x0 , y0 ) に於ける f の増分 ∆f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) を ∆f = {f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y)} + {f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )} と表す。先ず、1 変数関数 g(x) = f (x, y0 + ∆y) に対して a = x0 , b = x0 + ∆x として平均値の定 理を用いて f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) = g(b) − g(a) = ∆xg ′ (x0 + θ∆x) = ∆xfx (x0 + θ∆x, y0 + ∆y) が成り立つような実数 0 < θ < 1 を取る (偏導関数の定義より g ′ (x) = fx (x, y0 + ∆y) となること に注意しよう)。仮定より fx (x, y) は連続 であるから、関数の連続性の定義から lim (∆x,∆y)→(0,0) fx (x0 + θ∆x, y0 + ∆y) = fx (x0 , y0 ) となることが従う。ゆえに ε1 (∆x, ∆y) = fx (x0 + θ∆x, y0 + ∆y) − fx (x0 , y0 ) は (∆x, ∆y) を (0, 0) に近づけると 0 に収束することが分かる。 同様に、1 変数関数 h(y) = f (x0 , y) に対して a = y0 , b = y0 + ∆y として平均値の定理を用いて f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = h(b) − h(a) = ∆y · h′ (y0 + θ′ ∆y) = ∆y · fy (x0 , y0 + θ′ ∆y) が成り立つような実数 0 < θ′ < 1 を取る (偏導関数の定義より h′ (y) = fy (x0 , y) となることに注意 しよう)。仮定より fy (x, y) は連続 であるから、関数の連続性の定義から lim (∆x,∆y)→(0,0) fy (x0 , y0 + θ′ ∆y) = fy (x0 , y0 ) となることが従う。ゆえに ε2 (∆x, ∆y) = fy (x0 , y0 + θ′ ∆y) − fy (x0 , y0 ) は (∆x, ∆y) を (0, 0) に 近づけると 0 に収束することが分かる。 以上をまとめると ∆f = {f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y)} + {f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )} = fx (x0 + θ∆x, y0 + ∆y)∆x + fy (x0 , y0 + θ′ ∆y)∆y (平均値の定理) = {fx (x0 , y0 ) + ε1 (∆x, ∆y)}∆x + {fy (x0 , y0 ) + ε2 (∆x, ∆y)}∆y = fx (x0 , y0 )∆x + fy (x0 , y0 )∆y + {ε1 (∆x, ∆y)∆x + ε2 (∆x, ∆y)∆y} が成り立つ。したがって誤差関数 ε(∆x, ∆y) = ε1 (∆x, ∆y)∆x + ε2 (∆x, ∆y)∆y が lim (∆x,∆y)→(0,0) ε(∆x, ∆y) √ =0 (∆x)2 + (∆y)2 を満たすことを示せば、f が (x0 , y0 ) で全微分可能であることになるので証明が完了する。ここで √ (∆x)2 + (∆y)2 ≤ −|∆x| ≤ ∆x ≤ |∆x| ≤ (∆x)2 + (∆y)2 √ √ − (∆x)2 + (∆y)2 ≤ −|∆y| ≤ ∆y ≤ |∆y| ≤ (∆x)2 + (∆y)2 − √ より不等式 √ (∆x)2 + (∆y)2 (ε1 (∆x, ∆y) + ε2 (∆x, ∆y)) ≤ ε(∆x, ∆y) √ ≤ (∆x)2 + (∆y)2 (ε1 (∆x, ∆y) + ε2 (∆x, ∆y)) √ が成り立つので、辺々を (∆x)2 + (∆y)2 で割って − ε(∆x, ∆y) −(ε1 (∆x, ∆y) + ε2 (∆x, ∆y)) ≤ √ ≤ ε1 (∆x, ∆y) + ε2 (∆x, ∆y) (∆x)2 + (∆y)2 · · · (♡) を得る。既に見たように、(∆x, ∆y) → (0, 0) としたときに ε1 (∆x, ∆y), ε2 (∆x, ∆y) は 0 に収束する ので、(♡) の左辺と右辺は 0 に収束する。したがって 挟み撃ちの原理 によって √ ε(∆x, ∆y) (∆x)2 + (∆y)2 □ も 0 に収束することが従う。 ■多変数関数の微分法に関する諸概念のまとめ 連続微分可能 +3 全微分可能 +3 偏微分可能 SS S S SS S SSS SS SSS S %連続 ※ 1 変数関数の「微分可能」に近い概念は「 全 微分可能」 ※ 一般に 偏微分可能性 と 連続性 には 因果関係はない (!) (問題 2-3. の関数を考えてみよう)*2 *2 連続性は 方向微分可能性 とも因果関係はない; 問題 3-3. 参照。
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