理工学部

３月９日実施
数学
I
(1)
理工学部（理学科・応用化学科・機械工学科・電気電子工学科
）
社会環境工学科・情報学科
だ
O を原点とする座標平面上の楕円 C: 3x2 + 4y 2 = 24 を考える。C と x
軸の交点のうち，x 座標が正であるものを A とし，C と y 軸の交点のうち，
y 座標が正であるものを B とする。A の x 座標は
ア
り，B の y 座標は
ウ
エ
(2)
オ
であ
である。また， C で囲まれた図形の面積は
π である。
2 つの実数 x, y が 2x + 3y + 3 = 0 を満たすとし，X = 9x + 27y とおく。
x=−
1
のとき，X =
2
また，xy =
ク
カ
である。
キ
コ
サ
のとき，X は最小値
をとる。
ケ
(3)
イ
シ
a, b を整数とする。a, b が 2 つの不等式
a2 + b2 <
= 25 ,
2a + b + 1 >
=0
を満たすとき，a + b のとり得る値は全部で
スセ
個ある。
II
座標平面において，3 つの直線
1 : y = ax − a + 2 ,
2 : ay = x − 1 + 2a ,
3 : y = −x − 1
を考える。ただし，a は定数とし，|a| = 1 とする。また，1 と 3 の交点を A
とし，2 と 3 の交点を B とする。さらに，1 と 2 が a の値にかかわらず通
る定点を C とする。
(1)
C の座標は
(2)
a = 7 のとき，AB =
ア
,
イ
である。
ウ
エ
である。
(3)
C から 3 に下ろした垂線を CH とするとき，CH =
オ
カ
である。さらに，ABC の面積が 6 となるような a の値は，小さい順に
キ
,
ケ
である。
ク
(4)
ABC が正三角形となるような最大の a の値は
コ
+
サ
ある。
(5)
a = 2 のとき，3 点 A, B, C を通る円の半径を R とする。このとき，
R=
シス
セ
ソ
である。
で
III
a を正の実数とするとき，x >
= 0 で定義された関数
f (x) = log x +
x2 + a2
を考える。
(1)
f (0) = 3 log 2 であるとき，a =
イ
あるとき，a =
である。また，f (a2 ) = 2 log 2 で
ア
である。
ウ
(2)
不等式 log 10 < f (1) < log 20 が成り立つための必要十分条件は，
エ
オ
カ
<a<
キク
が成り立つことである。さらに，この不等式を満たす a の値のうち，整数は
全部で
ケコ
個ある。
√
(3)
(4)
f (2a) + f (3a) =
g(x) =
a=
{f (x)}2
√
サ
5 + 10
が成り立つとき，a =
2
と定める。このとき，
a
0
g(x) dx =
である。
シ
a
π が成り立つならば，
6
ス
である。
セ
また，p + q = 4 および p q = 1 を満たす 2 つの実数 p, q に対して，定積分
I=
pa
0
2x g(x) dx +
qa
0
2x g(x) dx
を考えると，I の値は定数 a の値にかかわらずに定まり，I = log
ある。
ソタ
で

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