(1) F(x) - SUUGAKU.JP

1
次の問いに答えよ．
Z
(1) F(x) =
2x
x
et dt とするとき，F(1) および F0 (x) を求めよ．
(2) 関数 f(x); g(x) が，
X
f(x) +
Z
x
0
g(t) dt = 2 sin x ¡ 3
f0 (x)g(x) = cos2 x
を満たすとき，f(x)，g(x) を求めよ．
（琉球大学 2015 ）
2
関数 f(x) = x
B
1 ¡ x2 (¡1 5 x 5 1) について，次の問いに答えよ．
(1) f(x) の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
Z1
(2) 定積分
f(x) dx を求めよ．
¡1
（琉球大学 2015 ）
3
次の問いに答えよ．
(1) 定積分
Z
¼
4
0
x cos 2x dx を求めよ．
(2) AB = AC = 1 である二等辺三角形 ABC において，BC = 2x，内接円の半径を r とおく．
1 r を x を用いて表せ．
2 r が最大となる x の値を求めよ（最大値そのものは求める必要はない）．
（琉球大学 2014 ）
4
整数 m; n は m = 1，n = 2 をみたすとする．次の問いに答えよ．
(1) x > 0 のとき，y = log x の第 1 次導関数 y0 と第 2 次導関数 y00 を求めよ．
(2) 座標平面上の 3 点 A(m; log m)，B(m + 1; log m)，C(m + 1; log(m + 1)) を頂点とする三角形の面
積を Sm とする．Sm を m を用いて表せ．
Z m+1
log x dx とおく．f(m) < 0 が成り立つことを，y = log x のグラフを用
(3) f(m) = log m + Sm ¡
m
いて説明せよ．
(4) f(1) + f(2) + Ý + f(n ¡ 1) < 0 であることを用いて，不等式
log 1 + log 2 + Ý + log(n ¡ 1) < n log n ¡ n + 1 ¡
1
log n
2
を証明せよ．
p
n n
(5) 不等式 n! < e n # ; を証明せよ．ただし，e は自然対数の底である．
e
（琉球大学 2014 ）
5
次の問いに答えよ．
(1) 直径 1 の球を球の中心から距離 a の平面で切って二つの部分に分け
1
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，0 < a <
2
とする．
(2) 1 辺の長さが 1 である立方体 ABCD-EFGH を考える．この立方体に
内接する球と正四面体 ACFH との共通部分の体積を求めよ．
（琉球大学 2013 ）
6
In =
Z
0
¼
4
tann µ dµ (n = 1; 2; 3; Ý) とするとき，次の問に答えよ．
(1) I1 および In + In+2 (n = 1; 2; 3; Ý) を求めよ．
(2) 不等式 In = In+1 (n = 1; 2; 3; Ý) を示せ．
(3) lim nIn を求めよ．
n!1
（琉球大学 2012 ）
7
次の問いに答えよ．
Z¼
(1) 定積分
x sin 2x dx を求めよ．
¡¼
Z¼
(2) m; n が自然数のとき，定積分
sin mx sin nx dx を求めよ．
¡¼
Z¼
(3) a; b を実数とする．a; b の値を変化させたときの定積分 I =
(x ¡ a sin x ¡ b sin 2x)2 dx の最小
値，およびそのときの a; b の値を求めよ．
¡¼
（琉球大学 2011 ）
8
a > 0 とし，
f(x) = a2 (x + 1)e¡ax
とおく．
(1) 関数 f(x) の最大値とそのときの x の値を求めよ．
(2) (1) で求めた x の値を c とする．曲線 y = f(x) と x 軸，y 軸および直線 x = c で囲まれた図形の面積を
S(a) とする．0 < a < 1 における S(a) の最大値とそのときの a の値を求めよ．ただし，e > 2 であるこ
とを証明なしに用いてよい．
（琉球大学 2010 ）

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