解答115

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115　2次不等式 2x 2 +3x -2<0 ……①と2次関数 f0 x 1 = x 2 +2ax +2a 2 +2a -3 があり，
壁
(1) 不等式①を解け。
不等式①を満たすxの範囲，
(2) Cの頂点の座標をaを用いて表せ。また，Cがx軸と異なる2点で交わるとき，
つまり ①- の範囲で
定数aの値の範囲を求めよ。
Cがx軸と異なる2点で交わればよいから
(3) 不等式①を満たすxの範囲で，Cがx軸と異なる2点で交わる。
f0 -2 1 +
+
-2
(.これって壁パターンだよね。)
このとき，定数aの値の範囲を求めよ。 ( 2008年度進研模試 1年11月得点率30.5% )
次の[1]～[3]を同時に満たせばよい。
(1)
1
829
f
x
1
2
x =-2
軸x =-a
s
x=
1
2
[1] 異なる2点で交わる　(2)より，-3< a <1 ……②　[※D>0で求めてもよい]
①より，　2x 2 +3x -2<0
0 2x -1 10 x +2 1 <0
-2< x <
壁
(3)
y = f0 x 1 のグラフをCとする。ただし，aは定数である。
[2] 軸 -2<-a <
1
p　…… ① 2
1
2
すなわち，-
[ ※軸は-2と
1
の間にないとダメ]
2
1
< a <2 ……③
2
(2)
8 2 9>0
[3] f0 -2 1 >0 かつ　f
v　tも大切！！
どちらのやり方もマスターしないとダメ!!
1
[ 壁との交点>0 ]
2a 2 +3a -
11
>0
4
2a 2 +3a -
11
=0 を解くと
4
2a 2 -2a +1>0 ……(A)
2a 2 -2a +1=0 を解くと
放物線が x軸と異なる2点で交わるには，
x
次の [1]または [2]を満たせばよい。
a =
1 $ U -1
2
-3 $
a=
((ルートの中が-なので))
a
a軸との共有点はないので
[1] 下に凸のグラフのときは，頂点のy座標<0
上に凸のグラフのときは，頂点のy座標>0
[2] 判別式をDとしたとき，D >0
※Dの場合は，下に凸，上に凸どちらでもD >0 のみ。
]3 -2 42･2･8- 4 9
･
グラフより
-3 $ U 31
=
4
(A)の解は (aは) すべての実数　……④
よって，
a<
t (その１)が
一番のお薦め!!
一番のお薦め!!
x
[2]は教科書で習ったやり方です。
11
2
-3 - U 31
-3 + U 31
< a　……⑤
，
4
4
a
-3 - U 31
4
-3 + U 31
4
.　どちらが簡単かは問題によります。(2)では頂点の座標を求めており，
しかも，頂点のy座標が a +2a -3 と簡単な式なので，[1]のやり方の方が
f0 x 1 = x 2 +2ax +2a 2 +2a -3
2
2
④を求めるt（その２）
④を求めるt（その１）
簡単に答えを求めることができます。
2
=0 x + a 1 - a +2a +2a -3
x軸と異なる 2点で交わる
= 0 x + a 1 2 + a 2 +2a -3
(2年生以降はこのやり方がほとんど)
(教科書通りだと次のようになる)
2a 2 -2a +1>0 ……(A)
2a 2 -2a +1>0 ……(A)
20a 2 - a1 +1>0
2a 2 -2a +1=0 の判別式をDとすると
2
1
1
(A)の解は (aは) すべての実数　……④
グラフのようになるから
D
<0 より，
4
2
したがって，
Cの頂点の座標
0 -a , a +2a -31 p
2
x
D
= 0 -1 1 2 -2 ･ 1=-1
4
>8 2 9 - 4 ?+1>0
1
1
2 a 8 2 9 + 2 >0
2 a -
a
(A)の解は (aは) すべての実数　……④
C は下に凸だから，
Cがx軸と異なる2点で交わるとき
Cの頂点のy座標 <0　頂点のy座標 <0
a 2 +2a -3<0
0 a +3 10 a -1 1 <0
-3< a <1　p　…… ②
異なる 2つの
v
実数解をもつ
5< U 31 <6 より
ときだから
2<-3+ U 31 <3
D>0
1
-3 + U 31
3
<
<
2
4
4
よって，
t　[授業でやったのはこちらの解き方です。]
Cがx軸と異なる2点で交わるとき，
f0 x 1 =0 の判別式をDとしたとき
D >0
よって，
D
= a 2 -1 ･ 02a 2 +2a -31 >0
4
-a 2 -2a +3>0
a 2 +2a -3<0
どちらも
めっちゃ
重要な解き方。
両方マスター
しようね。
5< U 31 <6 より
※各辺を&4する
-3 + U 31
は，
4
-6<-U 31 <-5 ※各辺に-3する
-9<-3- U 31 <-8
※各辺を&4する
9
-3 - U 31
<-2
- <
4
4
よって，
1 3
との間の数と分かるよ。
2 4
-
-3 - U 31
は，
4
9
と-2 の間の数と分かるよ。
4
したがって，
※　⑤
⑤
-3 + U 31
-3 - U 31
と
が
4
4
図のどの場所にくるかは，
④
上記のvを参照すること。
③
0 a +3 10 a -1 1 <0
-3< a <1　p　…… ②
※各辺に-3する
②
-3
-3 - U 31
4
-
1
2
1
2
a
-3 + U 31
4
②～⑤を同時に満たすのは　-3 + U 31
< a <1 p
4

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