学習メモ

数学Ⅱ
ラジオ
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第 33 回
第 2 章　図形と方程式　［不等式の表す領域］
不等式の表す領域 ⑶
講師
渡部儀隆
円を境界線とする領域
方程式 x2 ＋ y2 ＝ 4 は，原点を中心とする半
径 2 の円を表しています。
では，不等式 x2 ＋ y2 ＜ 4 や x2 ＋ y2 ＞ 4 が
どのような領域を表すか考えてみましょう。
学習のポイント
① 円の方程式と不等式
② 不等式と円の内部・外部
③ 領域を表す不等式
円の方程式と不等式
不等式 x2 ＋ y2 ＜ 4 を満たす点を P(x，y) とすると，中心 O
y
との距離は OP ＝ x2＋y2 であるから，不等式 x2 ＋ y2 ＜ 4 は，
OP2 ＜ 4 すなわち OP ＜ 2
となる。これは点Pが円の内部にあることを示している。
2
2 x
O
2
同様に，不等式 x ＋ y ＞ 4 を満たす点 P の集まりは，円の外部
であることが示される。
x2＋y 2＝4
▼
境界線を含まない
不等式と円の内部・外部
x2 ＋ y2 ＜ r2 の表す領域は x2 ＋ y2 ＞ r2 の表す領域は
円 x2 ＋ y2 ＝ r2 の内部円 x2 ＋ y2 ＝ r2 の外部
y
y
r x
O
O
x2＋y 2＝r2
r x
x2＋y 2＝r2
境界線を含まない
境界線を含まない
等号のついた不等号を用いた不等式 x2 ＋ y2 ≦ r2，x2 ＋ y2 ≧ r2
y
の表す領域はそれぞれ境界線つまり円を含む。
（x−1)2＋(y−2）2＝4
不等式 (x − 1)2 ＋ (y − 2)2 ＜ 4 の表す領域は右図の斜線部分と
なる。ただし，境界線を含まない。
P
2
一般に次のことが成り立つ。
(x − a)2 ＋ (y − b)2 ＜ r2 の表す領域は，
円 (x − a)2 ＋ (y − b)2 ＝ r2 の内部
O
(x − a)2 ＋ (y − b)2 ＞ r2 の表す領域は，
1
x
境界線を含まない
円 (x − a)2 ＋ (y − b)2 ＝ r2 の外部
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高校講座・学習メモ
数学Ⅱ
問1
33 不等式の表す領域 ⑶
次の不等式の表す領域を図示しなさい。
(1) (x − 1)2 ＋ (y ＋ 2)2 ＞ 4 (2) x2 ＋ (y − 2)2 ≦ 9 y
y
1
O
1
x
1
O
1
x
領域を図示する
領域が与えられたとき，その領域を不等式で表してみよう。
y
右図の斜線部分の領域を表す不等式を求めなさい。
例
解答
O
▼
点 (3，0) を中心とする半径 3 の円の内部であり，
3
x
境界線を含むから， (x−3)2＋y2≦9
境界線を含む
問2
次の図の斜線部分の領域を表す不等式を求めなさい。
y
2
O
x
境界線を含む
境界線を含まない
境界線を含む
2
(x−1）
＋(y＋2) 2＝4
x2＋(y−2) 2＝9
O
x
−2
x
O
x2 ＋ (y − 2)2 ≧ 4
y
y
(1) (2)
円の外部であり、境界線を含むから
点（0，2）を中心とする半径２の
問 1・解答
問 2・解答
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