不等式の表す領域

不等式の表す領域
数学 II・B 授業ノート
1 不等式の表す領域
1
方程式 y = 3x + 1 を満たす点 (x, y) の全体は (0, 3)，(− , 0) を通る直線である．これに対し，
3
y > 3x + 1
を満たす点 (x, y) は直線 y = 3x + 1 の上側にあり，
y < 3x + 1
を満たす点 (x, y) は直線の下側にある．
y = 3x + 1
y
y > 3x + 1
y < 3x + 1
1
−
3
1
O
x
一般に，x，y についての不等式を満たす点 (x, y) 全体の集合を，その不等式の表す領域という．
一般に次のことが言える．
✓
✏
1. 不等式 y > mx + n の表す領域は直線 y = mx + n の上側
2. 不等式 y < mx + n の表す領域は直線 y = mx + n の下側
✒
✑
例えば，y ≧ mx + n の表す領域は，y > mx + n の表す領域と境界となる直線 y = mx + n をあわせたもので，
境界を含む領域となる．領域を図示するときは，その境界を含むかどうか必ず補足を入れておく必要がある．
1
また，直線に限らず一般の関数 y = f (x) の場合についても，同じように考えて，次のことが成り立つ．
✓
✏
1. 不等式 y > f (x) の表す領域は曲線 y = f (x) の上側
2. 不等式 y < f (x) の表す領域は曲線 y = f (x) の下側
✒
✑
2 円の内部・外部
例えば点 P(x, y) が，不等式
(x + 1)2 + (y − 2)2 < 10
√
√
を満たすということは， (x + 1)2 + (y − 2)2 < 10 を満たすということで，点（ − 1, 2) と点 P との間の距離が
√
10 より小さいことを意味する．したがって，この不等式を満たす点 P(x, y) 全体は，円 (x + 1)2 + (y − 2) = 10
の内部で，境界部分は含まない．
一方，
(x + 1)2 + (y − 2)2 > 10
は円 (x + 1)2 + (y − 2) = 10 の外部で，境界部分は含まない．
y
2
O
−1
x
一般の円 (x − a)2 + (x − b)2 = r2 について，この円を C とするとき，次のことが成り立つ．
✓
✏
円 (x − a)2 + (x − b)2 = r 2 を C とする．
1. (x − a)2 + (x − b)2 < r 2 の表す領域は，円 C の内部
✒
2. (x − a)2 + (x − b)2 > r 2 の表す領域は，円 C の外部
3 演習問題
1. 次の不等式が表す領域を図示せよ．
(a) y ≦ 2x − 1
(b) 2x − y + 2 < 0
(c) y ≧ 4
2
✑
(d) 2x − 4 ≦ 0
(e) y ≦ x2
(f) y − 3 ≧ −(x − 2)2
(g) (x − 1)2 + y 2 > 4
(h) x2 + y 2 + 6x − 4y ≧ 0
3

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