赤阪正純 (htt叫 nupri web fc2 com) ヤバ イ極 限値 “ 知 って おかな い とヤバ イ極 限値 次 の問題 は授業 で も紹介 しましたが ,超 重要 かつ 超有名問題 なので も う一度解説 します 例題 ここで,″ ―→ ∞ とすると , 1 . 2 , 値ょ 極限 鳳多 を求め よ であることを示 します .つ ま り -1-″ ― :″ 2 >0に おいて /(″ )>0で あることを 示せばよいのです 式変形では無理なので,当 然 , υ=/(″ )の グラフを考えて視覚的に証明します 珍注ま たを き 自 然 数と すると ,1颯 チ =0 ,π も成 立 します (証 明 は省 略)こ れ も暗記 して お こう (2)は ,「 不等式を利用 して極限値 を計算せよ」と くれば,当 然,「 ハサミウチの原理」です 例 題 0 じ とき , ″-1-″ ― :″ 2 ざ =〆 1″ ζ ネ の ス 靴 ′ r-1 も う 彿吻し tす '郷 1蝿 , <赫 不等式 の各項 に ″ をかける と,″ 多<壽 の注 列ま す 7● 'ム ι5ん 極 限値 g″ ュ躍 多 =0,1魁 茎 二 写 =0, =0は でき れば暗記しておきたいと Jl■ 0 1° ころ (い きな リノー ヒン トで証明 を求め られ るこ と はあ りませ ん) >0な ので 関数 のグラフを書 く際 には勝手 に使 って構 い ませ , ん く `な チ→十oヒ >0) (2)″ >0に おいて (1)の 不等式 の両辺 は正 な ので ,逆 数 を とる と 多 ｇ Ｏ 2 (″ 一 :″ 一′ 十 １ :僧 ｍ ［０ ｉ ︲ 〓 〓 bg“ ＞ ︲ レ 町 ］ 丁 ―'+0の とき′―→ ∞ =ι とおくと,″ ― ″い 〓 一 一 0″ 1+″ , x,07707 χ→ 0で 捜詩=l魂 ′=0 ■ ↑ ｍ ｉ ｍ∞ 一 ｉ ︲［ ︲ ′ . >醐 敷 , なのでr∼ ￠r> g″ , F)′ ￨!」 !甘 , ① (1)log″ =`と する と グ =″ であ り ″ ―→ ∞ の とき ′―→ ∞ なので で 見お建Ff:電∵ ぁ (2)÷ 1清趙 ‰ 淵fFま 零 る ,ι テ [:〔 縄■日 で あ J増 増 加 ][1:10)二 リ フ る [Fttf与ア メ iil,り =0で ある ことを用 いて (2)h乳 ″bg″ ※この極限値も暗記 しておくこΥ F_ =‐ (1)lim l° とぉ く この l口 、 /′ (″ )=ο ″>0に おいて〆 >1な ので,/″ (″ )>0 21魁 歩 次 の極 限値 を求 め よ _ (1) /(″ )=ο 11″ ※この極限値は暗記しておくこと 食嗜ι マま 。 す , ・ /(″ )=σ 獅 徽よ 夕 ,Oχ り ?F」 l l蝿 歩 (1)は 不等式 の証 明な ので (左 辺 )一 (右 辺 )>0 : l鼎 Poin 考え方 とし,″ 区÷〈 寺 l転 歩=0 ″升岬 嚇¨ “ υ ぼ 丁再言耳茅 丁TttT丁 ″ORイ 隷 ,_、 ン ンチの原理より 歩>0な ので,ハ サミ (1)“ >0と き,次 の 不等式 を証明せ よ (2)(1)の 不等式 を利用 して =0 =11里 1蝿 1 Or>1+“ +;″ な″び ヤ￨ヾ イの∼ ご丁寧 に 「∼ は使 ってもよい」 と指示 され る場 て も あ ま か し り す ら 心 く 合 安 iilセ _ε フ I)'hi、 ギ ',■ ― 赤阪正純 (httレ グ nupri web fc2 com) ヤバ イ極 限値 とは言 うものの,い きな り変な極限値が出て きた らアセ ッて しまい ます ′ 紹介す る『 ロピタル (ι 〃 Osp夕 αι )の 定理』です ロピタルの定理 は や 兜 Pointく (ロ ビタルの定理 `:す 掏発 l蝿 力沐 定形 1鶴 機⇒ の場合 に成 り立 つ公式 で す の極 限 と 分助 `:す 子 fliII[][此 分 )=丸 器 姿3=!蝿 器 (:や そんな ときに役 に立つのが次 に 意味 い う∼ん ゜ シンフ tr の極 限が等 しい とい うことを つま先 ― `:す じ:す の極 限 が 求 劇 こ ー L`〕フ 護 鼈 子 を微分 して 等1、 、 fヽ 'レ 』 総[:[t、 91分 ´ うム :男響 )の 極 限を ゃ 相… 『ロピタルの定理』 を使 えば,次 の ようなメ ン ドウな極 限値計算 もチ ョ∼簡単 に求め る ことがで きます 夕3t4)τ 【 例】 Й い マ イ 飾L7｀ く “ ± 堕 臨 ザ =闘 弓折=脇 ギ汁=: 例】闘 デ雲告 【 稲″為:瞥 嘗1峰 は =鶏 堡七留望 =闘 2 cos″ =2 夕島 は, 珍 注 もちろん『 ロ ピタルの定理』 を使 わな くて もフツー に解 けます よね (こ れ は基 本問題 で す ゾ) 先 ほ どのヤバ イ極 限値 も一発 で求め られ ます .不 等式やハ サ ミウチの原理 な ど全 く不必要 で す l蝿 多=l蝿 歩=0 1蝿 平 ツ1レ なん 口し ごしう′ / カ 力,9∼ ン 1 =l魂 子=l蝿 ÷ =0 "リ 大学入試では,『 ロピタルの定理』を用いな くても解けるように誘導などがついて ますが,知 ってると答 えの見当をつけたり,検 算のときに大変便利なので憶えておきましょう 珍 注 『 ロピ タルの定理』を紹介す る と必ず「テ ス トで使 って 良 いんで すか Jと い う質 問 を受 け ます そ うですねえ 大学入試 で 実際 に採点す るのは大学 は全 く分か らな いのでなん とも言 えませ んね (hIに ないほ うが無 難 で しようね 1 使わ セ ン ター試験 な らまだ しも,記 述試験 で 「答 えだ けで よい」問題 が出題 さ て しまうよ うな単純 な 問題 や ,逆 に『 ロ ピタル の 定理 』 を知 らない と手 も足 も出ない よ うな難 問 が と呼 ばれ てい ます ) Pointく (コ ーシー の平均値 の定理 /(″ ),g(″ )は 閣区間 [α ,ι]で 連続 であ り , 開区間 (α ,b)で 微分可能であるとする さら に,(α ,b)の どの点においても /′ (″ ),グ (″ ) , 少な くとも 君 たちが 目指 して い る よ うな大学 で 出 一Ю Ю そ もそ も『 ロ ピタル の 定理 』 で 簡 単 に答 えが 出 l:?￨? '一 の平均値 の定理』 を利用 します (み んなが知 ってい が同時に0に なることはないものとする.こ の れ る可能性 は極 めて低 いで しょう 一 やヽに ぃ `∫ ん る平均 値 の 定理 は『 ラグ ランジ ユの平均値 の 定理 』 の先 生ですか ら,そ の採点担 当者 が どう判断す るか 4 7レ tう ち ごフ とき,g(α )キ θ(ι )な らば , ノ(b)一 /(α ) θ(b)一 g(α ) α<ε <わ をみたす εが存在する 題 され るとは到底思 え ませ ん ●B 「証明 してか らな ら使 って も良 いだ ろ う」 と言 う人 もい るかも しれ ませ んが ,お そ らくム リで す 証明 で きませ ん 『 ロピ タルの定理 』 を証 明す るには,『 コー シー この『 コーシー の平均値 の定理』 か ら『 ロ ピタル の定理』 を導 き出す ことがで きます が ,証 明 を書 べ だ き ま ま で お だ ,あ 日 く 各 自 調 ん %鮮″ ■、 くには余 りにも紙面が狭 す ぎるので省略 させ ていた
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