2回目に出た目を b とする。

回
1個のさいころを 2回投げ，最初に出た目を α，2回目に出た目を b
−
2 αx+b=O について，次の間いに答えよ。
とする。 2次方程式 x
1）実数解は存在すれば正であることを示せ。
(
2）実数解の個数が lとなる確率を求めよ。
(
3）実数解の個数が 2となる確率を求めよ。
(
)
2
3-4
8
7
くM4(
＞
巴訂座標平面上に 5点 0
(
0
,0
)
,A
(
5
,0
)
, B(O，叫 P(m,0
)
,Q
(
O
,n
)
をとる。ただし， m と η は 1壬 m :
;5
, 1:
;n:
;1
1を満たす整数と
する。
(
1）三角形 OABの内部に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし，
格子点とは z座標と
ν座標がともに整数である点のことであり，
内部には辺上の点は含まれない。
(
2）三角形 OPQの内部に含まれる格子点の個数が三角形 OABの
内部に含まれる格子点の個数の半分になるような組（m，η）をす
べて求めよ。
- 2-
＞
くM4(783-43)
日目座標平面上には A(O,0
)
,B
(
O
,1
)
, C(L1
)
,D
(
l
,0
がある。点 E と点 P
1
(
s
,1
)(
0<s<1
）を通る直線を
L とする。直
線 y=lに関して凸と対称な直線をんとし，ゐと直線 x=lの交
点を P2とする。さらに，直線 x=lに関してんと対称な直線むは
z軸と線分 AD上で交わるとし，その交点を P3 とする。
(
1）直線んが点 D を通るときの sの値を求めよ。
(
2）線分 DP3の長さを sを用いて表せ。
(
3
) EP1十円九十九九の最大値と最小値を求めよ。
-3-
＞
くM4(783-4
4
)
固− ¥
/
'
2壬z三J の範囲で，点 P は放物線 ν＝ -x2+2 上を動き，
点 Qは放物線
ν＝ x2
2 上を動く。ただし， P と Qは異なる点と
する。
(
1）直線 PQが原点を通るとき，線分 PQの長さの最大値と最小値
を求めよ。
(
2）線分 PQの長さの最大値を求めよ。
-4-
）
く M4(783 4
5
)
団座標平面上にすべての内角が 1
8
日満の四角形 ABCDがある。原
点を Oとし，砿＝ d，δ
吉＝
6，δ己＝す， 0
0＝才とおく。
kは
0 k
:
:
:
;1を満たす定数とする。 0以上の実数 S, t
,U が k+s+t+u= 1
：
＇
.
：
三
を満たしながら変わるとき
δ
手＝ぽ＋ s
6+tず＋u
d
で定められる点 P の存在範囲を E(k）とする。
(
1
) E(l）および E(O）を求めよ。
(
2
) E （÷）を求めよ。
(
3）対角線 AC, BDの交点を M とする。どの E(k)（ド kサ）
にも属するような点 Pを考える。このような点 Pが存在するた
めの必要十分条件を，線分 AC, A Mの長さを用いて答えよ。
-5-
<
>M4(783
4
6
)
［
］
］
αは 0＜ α＜ 2を満たす定数とする。 0豆t豆1を満たす実数 tに対
して，座標平面上の 4点 A
(
t
,0
)
,B
(
2
,t
2
)
, C(2-t
,2
)
,D
(
O
,2-a
t
)
を考える。このとき，四角形 ABCDの面積 S
(
t）が最小となるような
tの値を求めよ。
-6-
＞
くM4(783 4
7
)
回数直線上の点 Qは，はじめは原点 x=Oにあり，さいころを投げる
たび、に以下のルールに従って移動する。 Qが x＝ αにあるとき，
・出た目が 1ならば X ＝αにとどまる。
・出た目が 2
, 3ならば X ＝α＋ 1へ動く。
・出た目が 4
,5
, 6ならば x=Oに戻る（α＝ 0ならば動かない）。
(
1）整数 αミ0に対して，さいころを 3回投げたとき， Qが X ＝α
にある確率を求めよ。
(
2）さいころを
η
回投げたとき， Qが x=Oにある確率を求めよ。
(
3）さいころを
η
回投げたとき， Qが x=lにある確率を求めよ。
-7-
＞
くM4(783-4
8
)
［］］以下の聞いに答えよ。
(
1
) X >Qにおいて，不等式 logx<x を示せ。
(
2
) 1＜ α＜ bのとき，不等式
1
1
b α
一
一
logα一
logb一
、 α
(
l
o
g
α
)
2
を示せ。
(
3
) X とeにおいて，不等式
1
x
1
dt
三log(logx
)＋一一一一
tlog(t+l)
2
(
l
o
g
x
)
2
−
1
を示せ。ただし， eは自然対数の底である。
-8-
<
)M4(
7
8
3 4
9
)
ヨJz
」L 」
= cos~
7
+isin~
iは虚数単位）とおく。
7 (
(
1
) z+z
2+z
3十 z
4+z
5+z
6を求めよ。
(
2）α＝z+z2+z4とするとき， α＋
否
， α否および α を求めよ。た
だし， 5 は αの共役複素数である。
(
3
)(
1-z
)
(
l-z
2
)
(
1-z
3
)
(
1ーが）（ 1−♂）（ 1-z
6）を求めよ。
-9-
0M4(783 5
0
)
圃
2点 0
(
0
,0
)
,A
(
O
,2
)~直径とする円周から
O を除いた部分を点 Q
が動く。点 A を通り z軸に平行な直線と直線 OQの交点を R とす
る。点 Q を通り z軸と平行な直線と，点 R を通り
u軸と平行な直
線との交点を P とする。点 Pの軌跡を C とする。
(
1
) C の方程式を求めよ。
(
2）正の実数 αに対して， C と z軸と 2直線
X
＝α，X ＝一αによっ
て固まれる図形を， z軸の周りに 1回転してできる立体の体積
α）とする。このとき， l
i
mV（
α）を求めよ。
を V（
α−
→c
回
- 1
0-
）
く M4(783 5
1
)
固曲線 C ：ド sinx 上を点 P（同州（o
壬t汁）が動く。正の実
数 T に対して， P における C の接線上に PQ=rとなるように点 Q
をとる。ただし， Qの z座標は tよりも大きいとする。
(
1
) Q の座標を求めよ。
(
2
) t＝そのときに Q の U座標が最大となるような
T
の値を求
めよ。
- 1
1-
0M4(783 5
2
)
圃
p を 2でない素数とし，自然数 m, nは
j
p
)
(
m-n
.
j
p
)= 1
(m十 η.
を満たすとする。
(
1）互いに素な自然数の組（
x
,y）で
「
x+y、
／'
f
J
m ＋ηv
'
P＝一一一」七
X -1
八JP
を満たすものが存在することを示せ。
(
2
)X は（ 1
）の条件を満たす自然数とする。 zが pで割り切れない
ことと， m を p で割った余りが 1であることが，同値であるこ
とを示せ。
-12-
<
>M4(783-53)

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