(1) a + b + c = 1 ，a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca (2)

年番号
1
5
a; b; c を実数とするとき，次の問いに答えなさい．
(2) a2 + b2 + c2 =
1
= 0 について，次の各問に答えよ．ただし，定数 t
2
は実数とする．
(1) a + b + c = 1，a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca が，ともに成り立つとき，a; b; c の値を求め
なさい．
t を定数とする 2 次方程式 z2 ¡ tz + t ¡
氏名
(1) この 2 次方程式が実数解をもち，すべての解が ¡1 以上 1 以下であるような定数 t の値の範囲
1
(a + b + c)2 を証明しなさい．
3
を求めよ．
（宮城大学 2015 ）
(2) この 2 次方程式が 2 つの共役な虚数解 z = x § yi（ x; y は実数，i は虚数単位）をもち，
x2 + y2 5 1 を満たすような定数 t の値の範囲を求めよ．
（宮崎大学 2014 ）
2
a; b; c が実数のとき，不等式 a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca を証明しなさい．
（三重県立看護大学 2015 ）
3
a; b を実数とする．2 次方程式 x2 + 2ax + b = 0 の 2 つの解を ®; ¯ とする．重解の場合は
® = ¯ と考える．次の問いに答えよ．
6
次の問いに答えよ．
¯
®
(1) 2 次方程式 x2 ¡ 3x + 4 = 0 の 2 つの解を ®; ¯ とするとき，
+
の値を求めよ．
®¡1
¯¡1
p
p
(2) x が自然数のとき，不等式 ( x ¡ 2)2 < 1 を満たす x の値をすべて求めよ．
¡!
¡
!
¡
!
¡
!
(3) 4ABC の内部の点 P について，4PA + 3PB + 5PC = 0 が成り立っている．4ABC の面積
が 1 であるとき，4PAB の面積を求めよ．
(1) ®; ¯ が実数で， ® 5 1， ¯ 5 1 をみたすとき，点 (a; b) の存在範囲を図示せよ．
（山形大学 2014 ）
(2) ® は虚数とし，® = p + qi とおく．ただし，p; q は実数であり，i は虚数単位である．p; q
が p2 + q2 5 1 をみたすとき，点 (a; b) の存在範囲を図示せよ．
7
（大阪市立大学 2014 ）
4
以下の問に答えよ．
以下の問いに答えよ．
(1) p > 1，q > 1 のとき，不等式 p + q < pq + 1 を証明せよ．
p
p
p
(2) a > 1，b > 1 のとき，不等式 a + b ¡ 1 < a + b ¡ 1 を証明せよ．
p
p
p
p
(3) a > 1，b > 1，c > 1 のとき，不等式 a + b + c ¡ 2 < a + b + c ¡ 2 を証明せよ．
（福井大学 2014 ）
(1) 0 以上の整数 n に対して，2 次方程式 x2 + 2(n ¡ 5)x + n 2 ¡ n = 0 が実数解をもつとする．こ
のとき，n の値をすべて求めよ．
8
(2) 二桁の自然数で，一の位の数と十の位の数の和の 2 乗がもとの二桁の自然数になるような数を
すべての実数 m に対して，次の x についての 2 次方程式が実数解をもつときの，a の値の範囲
を求めよ．
すべて求めよ．
（佐賀大学 2014 ）
x2 ¡ 4x + 3 + m(x ¡ a) = 0
（奈良教育大学 2014 ）

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