演習問題 10

概論 IV 演習
§10. Cauchy の積分定理と積分公式（その 2） 2014 年 12 月 16 日出題
[ 10.1 ] f (z) は点 a 2 C の近傍で定義された連続函数とする．このとき次を示せ．
Z
f (z) eeeeeeeeee
lim
dz = 2⇡if (a).
r!+0 |z a|=r z
a
Hint: f (z) = f (a) + '(z) とおいてみよ．
[ 10.2 ] (1) 被積分函数を 2 項展開して，次の等式を示せ．
Z
n ✓ ◆2
X
n
1
n
n
z (z + 1) (z + 1) dz =
.
2⇡i |z|=1
k
k=0
(2) z = 1 のときは z = z
1
であることに注意し，(1) を利用して次の等式を示せ．
✓ ◆
n ✓ ◆2
X
n
2n
=
.
k
n
k=0
[ 10.3 ] f (z) は整函数とする．
(1) 異なる複素数 ↵, が与えられたとし，R > 0 を十分大きくとって 2 点 ↵, が円
z = R の内部にあるとする．部分分数分解を経て次式を示せ：
Z
f (z)
f (↵) f ( )
1
dz =
······ 1
2⇡i |z|=R (z ↵)(z
)
↵
(2) さらに f (z) は有界であると仮定する． 1 の左辺を評価して R ! +1 とするこ
とで，Liouville の定理の別証明を与えよ．
[ 10.4 ] 次の手順で代数学の基本定理を証明せよ1．
(1) n = 1 とし，n 次の多項式 p(z) は C に根を持たないとする．
Z
1
dz = 1 である．
(2) 8r > 0 に対して，
2⇡i |z|=r zp(z)
p(0)
(3) (2) の左辺の積分は，r ! +1 のときに ! 0 である．
[ 10.5 ] 各 z 2 D(0, 1) := {z 2 C ; z < 1} に対して，
Z 1
Z ⇡
1
d✓
f (z) :=
r dr
i✓
⇡ 0
re
+z
⇡
とおくとき，f (z) = z (8z 2 D(0, 1)) であることを示せ．
Z ⇡
d✓
Remark: z を固定するとき，函数 r 7!
は r = z で定義されないが，
i✓
⇡ re + z
それは [ 0, 1 ] での r についての積分には影響しない．パラメータ付きの正則函数を
そのパラメータで積分したら反正則函数になる例．乱暴な議論に対する警鐘である．
裏面に続く
1A.
R. Schep (2009) による証明．
Im z
[ 10.6 ] 円周 z = R (R > 0, R 6= 1) の上半分を
z = RZから z = R に至る路を C とするとき，
C
dz
i
積分
2 を求めよ．
"#
Re z
C 1+z
R
R
O
Hint: R > 1 のときは右図の閉路（C" は中心 i，
小さい半径 " > 0 の円周を正の方向に 1 周する路）
C + [ R, 0 ] + [ 0, (1 ")i ] + ( C" ) + [ (1 ")i, 0 ] + [ 0, R ]
に一般形の Cauchy の積分定理を適用する．練習問題として，留数定理を使わずに
解くこと．
⇣ dz ⌘
[ 10.7 ] (1) a > 0, b > 0 は定数とする．z = a cos ✓ + ib sin ✓ のとき，Im 1
を
z d✓
✓ を用いて表せ．
Z ⇡
d✓
(2) (1) を利用して，定積分
2 を計算せよ．
2
2
2
0 a cos ✓ + b sin ✓
i
1
[ 10.8 ] f (z) は整函数とする．右図の閉路 C と ↵ = 3, 1, 1, i
1
Z
3
f
(z)
1
に対して，
dz を求めよ．
2⇡i C z ↵
Z
dz の可能な値をすべて見出せ．
[ 10.9 ] C が ±i を通らない閉曲線であるとき，
1
+
z2
C
[ 10.10 ] D := C \ { 1, 1} とし，f (z) は D で正則な
函数とする．右図にあるような D 内の閉曲線
C:P!O!Q!R!S!O!T!U!P
を考える．
Z
(1) n(C, ±1) を考察することで f (z) dz = 0 示せ．
Z C
f (z)
(2) n(C, i) を考察して， 1
dz を求めよ．
2⇡i C z i
P
R
T
i
1
O
C
1
S
U
Q
[ 10.11 ] f (z) は領域 D で正則で定数函数ではないとする．このとき，最大絶対値
の原理を用いて，像 f (D) は開集合であること2を次の手順で示せ．
(1) （要理由）w0 = f (z0 ) 2 f (D) をとると，9r > 0 s.t.
D(z0 , 2r) ⇢ D かつ f (z) 6= w0 (8z 2 D(z0 , 2r) \ {z0 }).
(2) 2m := min
|z z0 |=r
f (z)
w0 > 0 とおくと D(w0 , m) ⇢ f (D) となることを，
8w 2 D(w0 , m), 9z 2 D(z0 , r) s.t. f (z) = w
1
となることで示す．そのために結論を否定すると，F (z) :=
は D(z0 , r) で
f (z) w
正則，D(z0 , r) で連続である．しかし，境界 z z0 = r 上での F (z) の値と F (z0 )
の大小関係は最大絶対値の原理に反していることが示せる．
以上
2Rouch´
e の定理を用いる証明が多くの本で採られている．

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