複素解析複素解析複素関数の積分複素関数の積分

複素解析
情報制御数学
4/09 複素数
複素数, 絶対値, 偏角, 極座標表示, Euler の公式
2.1 記法, 2.2 複素数の復習, 2.5.1 指数関数, 2.5.4 対
数関数
複素解析
情報制御数学
4/16 複素関数, 複素関数の微分
Cauchy-Riemann の関係式, 正則関数
2.3 複素関数, 2.4 複素微分と正則関数, 2.5.2 三角関数
4/23 複素関数の積分
複素関数の積分, Cauchy の積分定理
2.6 複素微分と正則関数
6/04 試験: 複素解析, ラプラス変換
複素関数の積分
複素関数の積分
[1] 2.6 複素積分と正則関数
[1] 2.6 複素積分と正則関数
複素関数 f : D ⊂ C → C
複素関数 f : D ⊂ C → C
w = f (z)
w = f (z)
曲線 C : z(t) = x(t) + jy(t), t : α → β に沿った, f (z) の積分:
!
C
f (z)dz =
!
β
α
f (z(t))z ′ (t)dt
複素関数の積分
練習
[1] 2.6 複素積分と正則関数
[1] 2.6 複素積分と正則関数
複素関数 f : D ⊂ C → C
複素関数 f : D ⊂ C → C
f (z) = z̄
w = f (z)
曲線 C : z(t) = x(t) + jy(t), t : α → β に沿った, f (z) の積分:
!
f (z)dz =
C
!
D = {z = x + jy| x2 + y 2 ≤ 32 }
C1 : z(t) = 3ejt , t : 0 → π/2
β
f (z(t))z ′ (t)dt
α
C2 : z(t) = t + j(3 − t), t : 3 → 0
経路 C を指定しないと意味がない
スタートとゴールが同じでも, 経路が異なれば, 一般には, 積分の
値は異なる
練習
原始関数と積分
[1] 2.6 複素積分と正則関数
[1] 2.6 複素積分と正則関数
複素関数 f : D ⊂ C → C
複素関数 f : D ⊂ C → C
f (z) = z̄
D = {z = x + jy| x2 + y 2 ≤ 32 }
C1 : z(t) = 3ejt , t : 0 → π/2
!
f (z)dz =
C1
!
π/2
f (z)dz =
C2
!
3
1
z−2
D = {z = x + jy| x2 + y 2 ≤ 32 }
C1 : z(t) = 3ejt , t : 0 → π/2
3ejt 3jejt dt = j
0
9π
2
C2 : z(t) = t + j(3 − t), t : 3 → 0
!
f (z) =
0
t + j(3 − t)(1 − j)dt = j9
C2 : z(t) = t + j(3 − t), t : 3 → 0
原始関数と積分
原始関数と積分
[1] 2.6 複素積分と正則関数
[1] 2.6 複素積分と正則関数
f (z) の原始関数 F (z):
複素関数 f : D ⊂ C → C
f (z) =
1
z−2
F ′ (z) = f (z)
D = {z = x + jy| x2 + y 2 ≤ 32 }
C1 : z(t) = 3ejt , t : 0 → π/2
!
f (z)dz =
C1
!
π/2
1
j3ejt dt = log(3j − 2)
−2
3ejt
0
C2 : z(t) = t + j(3 − t), t : 3 → 0
!
f (z)dz =
C2
!
0
3
1
(1 − j)dt = log(3j − 2)
t + j(3 − t) − 2
原始関数と積分
原始関数と積分
[1] 2.6 複素積分と正則関数
f (z) の原始関数 F (z):
[1] 2.6 複素積分と正則関数
F ′ (z)
例えば: f (z) = 1/(z − 2)
= f (z)
f (z) の原始関数 F (z):
F ′ (z) = f (z)
例えば: f (z) = 1/(z − 2)
F (z) = log(z − 2)
原始関数が存在するならば:
!
f (z)dz = F (z2 ) − F (z1 )
C
積分の値は経路に依存しない
F (z) = log(z − 2)
z1 : C の始点
z2 : C の終点
原始関数と積分
原始関数と積分
[1] 2.6 複素積分と正則関数
[1] 2.6 複素積分と正則関数
f (z) の原始関数 F (z):
F ′ (z)
例えば: f (z) = 1/(z − 2)
原始関数が存在するならば:
!
f (z)dz = F (z2 ) − F (z1 )
f (z) の原始関数 F (z):
= f (z)
例えば: f (z) = 1/(z − 2)
F (z) = log(z − 2)
z1 : C の始点
z2 : C の終点
C
1
z−2
! z2
!
f (z)dz =
z1
C
F (z) = log(z − 2)
原始関数が存在するならば:
!
f (z)dz = F (z2 ) − F (z1 )
z1 : C の始点
z2 : C の終点
C
積分の値は経路に依存しない
関数 f (z) =
F ′ (z) = f (z)
積分の値は経路に依存しない
始点: z1 = 3 + j0
終点: z2 = 0 + j3
1
dz = [log(z − 2)]0+3j
3+j0 = log(3j − 2)
z−2
1
z−2
! z2
!
f (z)dz =
関数 f (z) =
z1
C
始点: z1 = 3 + j0
終点: z2 = 0 + j3
1
dz = [log(z − 2)]0+3j
3+j0 = log(3j − 2)
z−2
補足: f (z) = z̄ に, 原始関数は存在しない
Cauchy の積分定理
Cauchy の積分定理
[1] 2.6 複素積分と正則関数
[1] 2.6 複素積分と正則関数
複素関数 f : D ⊂ C → C
f (z) =
1
z−2
複素関数 f : D ⊂ C → C
D = {z = x + jy| x2 + y 2 ≤ 32 }
C1 : z(t) = 3ejt , t : 0 → 2π
閉曲線
f (z) =
閉曲線
D = {z = x + jy| x2 + y 2 ≤ 32 }
C1 : z(t) = 3ejt , t : 0 → 2π
!
! 2π
f (z)dz =
C1
C2 : z(t) = ejt , t : 0 → 2π
1
z−2
0
閉曲線
1
j3ejt dt = 2πj
3ejt − 2
C2 : z(t) = ejt , t : 0 → 2π
閉曲線
! 2π
!
1
f (z)dz =
jejt dt = 0
jt
e −2
C2
0
Cauchy の積分定理
Cauchy の積分定理
[1] 2.6 複素積分と正則関数
[1] 2.6 複素積分と正則関数
✓
複素関数 f : D ⊂ C → C
f (z) =
1
z−2
D = {z = x + jy| x2 + y 2 ≤ 32 }
C1 : z(t) = 3ejt , t : 0 → 2π
!
! 2π
f (z)dz =
C1
Cauchy の積分定理 C が単純閉曲線で, f (z) が C とその内部で正
則ならば:
!
0
✏
f (z)dz = 0
C
✒
閉曲線
✑
1
j3ejt dt = 2πj
3ejt − 2
C2 : z(t) = ejt , t : 0 → 2π
閉曲線
! 2π
!
1
f (z)dz =
jejt dt = 0
jt
e −2
C2
0
特異点 z = 2 は, f (z) の特異点 (正則ではなくなる点)
Cauchy の積分定理
Cauchy の積分定理
[1] 2.6 複素積分と正則関数
✓
Cauchy の積分定理 C が単純閉曲線で, f (z) が C とその内部で正
則ならば:
!
✏
f (z)dz = 0
✒
C
曲線 C : z(t) = x(t) + jy(t), t : α → β に沿った, f (z) の積分:
!
C
f (z)dz =
!
[1] 2.6 複素積分と正則関数
✓
Cauchy の積分定理 C が単純閉曲線で, f (z) が C とその内部で正
則ならば:
!
✏
f (z)dz = 0
✑
✒
C
曲線 C : z(t) = x(t) + jy(t), t : α → β に沿った, f (z) の積分:
!
β
′
f (z(t))z (t)dt
α
f (z)dz =
C
原始関数が存在するならば:
!
f (z)dz = F (z2 ) − F (z1 )
C
!
β
f (z(t))z ′ (t)dt
α
z1 : C の始点
z2 : C の終点
✑
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2.1 記法, 2.2 複素数の復習, 2.5.1 指数関数, 2.5.4 対
数関数
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Cauchy-Riemann の関係式, 正則関数
2.3 複素関数, 2.4 複素微分と正則関数, 2.5.2 三角関数
4/23 複素関数の積分
複素関数の積分, Cauchy の積分定理
2.6 複素微分と正則関数
6/04 試験: 複素解析, ラプラス変換

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